Escrito por Matheus Ponciano
Iniciante:
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Calorimetria.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Primeiro devemos saber o calor necessário para que cada parte da água mude de estado físico. Para o gelo derreter, o calor cedido a ele deve ser:
$$Q_f = 10*80 =800$$ $$cal$$
Para o vapor condensar ele deve liberar:
$$Q_c = 10*(-540) = -5400$$ $$cal$$
Logo pode-se observar que o vapor pode fornecer muito mais energia do que a necessária para derreter o gelo, mudando apenas de estado. O gelo então descongela, condensando um pouco do vapor. A partir dai teremos $$2$$ partes da água, uma à $$0$$ $$^oC$$ e outra a $$50$$ $$^oC$$. O vapor ainda pode fornecer $$5400-800=4600$$ $$cal$$ de energia para as porções de água. Para chegarem à $$100$$ $$^oC$$ elas precisam receber:
$$Q_a = 10*1*(100-0) +10*1*(100-50)$$
$$Q_a = 1000+500$$
$$Q_a =1500$$ $$cal$$
Logo ambas as porções de água conseguem chegar aos $$100$$ $$^oC$$, atingindo o equilíbrio térmico. O vapor teve que fornecer no total ao sistema:
$$Q_v = 800 +1500 =2300$$ $$cal$$
Esse calor é devido ao condensamento do vapor, logo foi condensado uma massa de água de:
$$m = \dfrac{2300}{540}$$
$$m = \dfrac{115}{27}$$
$$m \approx 4,3$$ $$g$$
No final, teremos então o sistema a $$100^oC$$ com $$24,3$$ $$g$$ de água e $$5,7$$ $$g$$ de vapor de água.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
No final, teremos então o sistema a $$100^oC$$ com $$24,3$$ $$g$$ de água e $$5,7$$ $$g$$ de vapor de água.
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Intermediário:
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Gravitação, Energia.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para uma dada massa de teste $$m$$, a energia potencial gravitacional vai ser proporcional à:
$$U \propto \dfrac{GMm}{L}$$
Onde $$G$$ é a constante gravitacional, $$M$$ é a massa do corpo a ser estudado e $$L$$ é a distância entre seus $$CM$$. Suponhamos um cubo de massa $$M$$ e de lado $$l$$, e a massa de teste está em um de seus vértices.
Neste caso, a densidade do cubo vai ser:
$$\rho = \dfrac{M}{a^3}$$
A energia potencial gravitacional que a massa $$m$$ vai ter vai ser proporcional à:
$$U_{ponta} \propto \dfrac{GM}{\sqrt{\dfrac{3}{4}a^2}}$$
$$U_{ponta} \propto \dfrac{GM}{a}$$
Pois os números entram na constante proporcional.
Podemos dizer já que esta constante tem um certo valor $$\alpha$$, daí:
$$U_{ponta} = \alpha \dfrac{GM}{a}$$
Quando colocamos $$m$$ no centro do cubo, podemos imaginar que $$m$$ está na verdade rodeada por $$8$$ cubos idênticos de massa $$\dfrac{M}{8}$$ que possuem um dos vértices em $$m$$. A aresta $$b$$ deste cubo vai ser:
$$\rho = cte$$
$$\dfrac{M}{a^3} = \dfrac{M}{8b^3}$$
$$b = \dfrac{a}{2}$$
Também se pode ver isso desenhando o cubo cortado em $$8$$ pedaços. Já que a energia potencial é um escalar, podemos somar a contribuição de cada cubinho para a energia total de $$m$$. Temos então:
$$U_{centro} = \alpha 8\dfrac{GM}{8b}$$
$$U_{centro} = \alpha \dfrac{2GM}{a} $$
Daí:
$$U_{centro} = 2\left(\alpha \dfrac{GM}{a} \right)$$
$$U_{centro} = 2 U_{ponta}$$
$$\dfrac{U_{ponta}}{U_{centro}} = \dfrac{1}{2}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\dfrac{U_{ponta}}{U_{centro}} = \dfrac{1}{2}$$
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Avançado:
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Referenciais não Inerciais, Coordenadas Cilíndricas.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Considere no referencial do centro do circulo. O pivô estará girando em torno dele com velocidade angular $$\omega$$, e o pêndulo estará oscilando em torno deste pivô. Temos então que o referencial do pivô é um referencial girante. Neste referencial, a segunda lei de Newton precisa de uma “correção” pela consideração de forças fictícias ou forças de inércia. Num referencial girante de velocidade angular constante, a segunda lei de Newton pode ser escrita como:
$$m \vec {a}_{girante} = m \vec {a}_{fixado} -m \vec {a}_{referencial} -2 \vec {\omega} \times \vec {v}_{girante} – \vec {\omega} \times \left( \vec {\omega} \times \vec {r}_{girante}\right) $$
Onde $$r_{girante}$$, $$v_{girante}$$, $$a_{girante}$$ são a posição, velocidade e aceleração da partícula de massa $$m$$ (a massa do pêndulo) no referencial girante (pivô), $$a_{fixado}$$ é a aceleração da massa no referencial não girante (centro do circulo) e $$a_{referencial}$$ é a aceleração translacional do referencial girante em relação ao referencial parado (pivô em relação ao centro do círculo).
Utilizando coordenadas cilíndricas, adotamos o $$\vec {\omega}$$ apontando para fora da tela no eixo $$z$$ sendo positivo. No referencial fixado, a única força atuante vai ser a tração do fio. desse jeito:
$$\vec {T} = m \vec {a}_{fixado}$$
E aponta radialmente no sistema de coordenadas girantes.
O termo translacional corresponde apenas ao movimento circular que o pivô faz em torno do centro do círculo. Assim, vai ser:
$$m {a_{referencial}} = m \omega^2 R$$
E aponta do pivô para o centro do círculo.
No referencial girante, a velocidade da massinha aponta tangencialmente ao fio, e como o fio aponta no sentido do radial, a sua velocidade vai ser tangencial também. Desta forma temos:
Vendo a direção de cada componente, temos que:
$$m \vec {a}_{fixado}$$ é radial. ($$\vec {T}$$)
$$-m \vec {a}_{referencial}$$ aponta para baixo. ($$\vec {F}_{Trans}$$)
$$-2 \vec {\omega} \times \vec {v_{girante}}$$ aponta radialmente. ($$\vec {F}_{Cor}$$)
$$-\vec \omega \times \left( \vec {\omega} \times \vec {r_{girante}}\right)$$ é radial. ($$\vec {F}_{Cent}$$)
Assim, temos a seguinte configuração de forças:
Os termos radiais não gerarão torque em relação ao pivô, sendo o termo $$\vec {F_{Trans}}$$ unicamente responsável por isso. Desta forma, o torque gerado por esta força vai ser:
$$\tau = I \alpha = ml^2 \alpha$$
$$\tau = -m\omega^2 R lsen(\theta)$$
$$ml^2 \alpha = – m \omega^2 R l sen(\theta)$$
$$\alpha = – \dfrac{\omega^2 R}{l} sen(\theta)$$
Como $$\omega^2 R=g$$:
$$\alpha = -\dfrac{g}{l}sen(\theta)$$
Que é a mesma equação de movimento encontrada para um pêndulo simples na Terra.
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Demonstração.
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