INICIANTE
Temos $$\dfrac{x+y}{xy}=1 \Rightarrow x+y=xy \Rightarrow y=x(y-1) \Rightarrow x=\dfrac{y-1+1}{y-1} \Rightarrow x=1+\dfrac{1}{y-1}$$, portanto $$y=2$$ pois $$mdc(y, (y-1))=1$$. Logo a solução é $$(2,2)$$.
INTERMEDIÁRIO
Temos que $$2\cdot 10^{k} + 17 \equiv 0 (mod 2017) \Rightarrow 2\cdot 10^{k} + 17 \equiv 2017 (mod 2017) \Rightarrow 10^{k-3} \equiv 1 (mod 2017)$$.
Pois $$2000$$ é invertível módulo $$2017$$. Como $$mdc (10,2017) = 1$$ então $$10^{\phi (2017) \cdot t} \equiv 1 (mod 2017) $$ para todo $$t$$ inteiro positivo. Logo basta tomar $$k= \phi (2017) \cdot t + 3$$.
AVANÇADO
Sabemos que $$2^{\phi (5^{2000})} \equiv 1 (mod 5^{2000})$$ , portanto existe $$k$$ inteiro positivo com:
$$ 2^{\phi (5^{2000})} = 5^{2000} \cdot k +1 \Rightarrow 2^{2000 + \phi (5^{2000})} = 10^{2000} \cdot k + 2^{2000} $$
Portanto os $$2000$$ últimos dígitos de $$ 2^{2000 + \phi (5^{2000})} $$ coincidem com a representação decimal de $$ 2^{2000} $$, que tem no máximo $$667$$ dígitos pois $$2^{2000} < (2^3)^{667} < 10^{667} $$.
Desta forma, há pelo menos $$2000-667=1333$$ zeros consecutivos dentre as $$2000$$ últimas casas decimais de $$2^{2000+\phi (5^{2000})} $$ e assim $$n=\phi (5^{2000}) + 2000 = 4 \cdot 5^{1999} + 2000$$ satisfaz as condições do enunciado.
Deixe um comentário