Soluções Matemática – Semana 5

Iniciante

Suponha que os números de 1 a 9 estão dispostos no quadrado mágico como abaixo:

$$A$$     $$B$$     $$C$$

$$D$$     $$E$$     $$F$$

$$G$$     $$H$$     $$I$$

Assim, sabemos que $$A+B+C=X$$, $$D+E+F=X$$ e $$G+H+I=X$$. Somando tudo temos $$A+B+…+I=3X$$. Porém, já sabemos que as letras de $$A$$ a $$I$$ representam os números de $$1$$ a $$9$$, logo $$A+B+…+I=1+2+…+9=45 \Longrightarrow 3X=45 \Longrightarrow X=15$$. Agora só precisamos mexer um pouco mais com o que temos.

Sabemos que $$A+E+I=15$$ e $$C+E+G=15$$ que nos dá $$A+C+G+I+2E=30$$ $$(1)$$

Também temos $$A+B+C=15$$ e $$G+H+I=15$$ que nos dá $$A+B+C+G+H+I=30$$ $$(2)$$.

Subtraindo $$(2)$$ de $$(1)$$ obtemos que $$B+H=2E$$.

Para terminar, temos que $$B+E+H=X \Longrightarrow 3E=15 \Longrightarrow E=5$$ e o problema acabou!

Intermediário

Problemas como esse de contagem requerem calma. Há algumas formas de fazer essa contagem, algumas mais desgastantes e outras menos. É preciso pensar um pouco pra ver qual estratégia acabará de mais simples o problema. No nosso caso, iremos tratá-lo do seguinte modo.

Vamos contar quantas vezes o números $$1$$ aparece em cada casa de um número de 6 dígitos. Considere os números de $$000000$$ até $$999999$$. Para exemplificar, fixe o número $$1$$ na casa das unidades de milhar. Temos um número $$_ _ 1 _ _ _$$ a ser formado. Veja que cada combinação de dígitos que botarmos nos espaços em branco nos dará um número de no máximo $$6$$ dígitos e que todo número de no máximo $$6$$ algarismos que tem o número $$1$$ como dígito das unidades de milhar aparecerá ao variarmos as possibilidades. Agora temos que lembrar o fato de que a soma dos dígitos de um número deixam o mesmo resto que ele por $$3$$. Logo, para o nosso número de até $$6$$ dígitos ser divisível por $$3$$ a soma dos outros $$5$$ dígitos deve ser congruente a $$2$$ módulo $$3$$. Basicamente, os 5 dígitos restantes devem formar, sem o $$1$$ entre eles, um número congruente a $$2$$ módulo $$3$$. Mas quantos números há desse tipo entre $$1$$ e $$99999$$ ? Claramente $$\dfrac{99999}{3}=33333$$. Logo, essa é a quantidade de vezes que o número $$1$$ aparece nas unidades de milhar.

Agora, do mesmo modo que fizemos isso para o número 1 no algarismo das unidades de milhar, poderíamos ter feito para qualquer outraposição. Então, o total de aparições de dígitos $$1$$ em múltiplos de $$3$$ menores que $$1000000$$ é $$33333\cdot 6=166665$$

 Avançado

Considere as posições de uma sequência da esquerda para a direita, da $$1$$ até a $$2002$$. Diremos que um número está numa posição par, se o número correspondente à sua posição é par e a mesma coisa definiremos para o ímpar. Suponha que exista uma configuração como pedida no enunciado.

Se $$K$$ é par, entre os dois números $$K’s$$ haverá uma quantidade par de casa e logo, os dois $$K’s$$ da sequência terão posições de paridades distintas. Já se $$K$$ é ímpar, os dois $$K’s$$ da sequência terão posições de mesma paridade.

Inicialmente , há $$1001$$ posições pares e $$1001$$ posições ímpares. Ponha os números pares nas suasdevidas posições. Como havia $$500$$ pares deles, cobrimos $$500$$ posições ímpares e $$500$$ posições pares, deixando assim $$501$$ de cada. Agora , ponha de $$1$$ por $$1$$ os pares de números ímpares em suas posições, cobrindo duas posições ímpares ou duas posições pares. Desse modo, os números ímpares terão coberto uma quantidade par de posições pares e uma quantidade par de posições ímpares, um absurdo, pois precisávamos cobrir $$501$$ de cada. Logo o que supomos no início é falso e a sequência desejada não existe!