Soluções Matemática – Semana 7

Iniciante

Há modos mais gerais de resolver esse problema, mas eles podem ser um pouco chatos. O fato que nos ajuda nesse problema específico é que $$5,7,9,11$$ são número ímpares consecutivos e $$x,x+1,x+2,x+3$$ são números inteiros consecutivos, nos levando ao seguinte bizu:

$$2x-5=2(x+1)-7=2(x+2)-9=2(x+3)-11$$ é múltiplo de $$5,7,9$$ e $$11$$, respectivamente.

Logo, $$2x-5$$ deve ser múltiplo de $$5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=3465$$, o que implica que $$2x-5$$ é no mínimo $$3465$$, que nos fornece que o valor mínimo possível de $$x$$ é $$1735$$.

 

Intermediário

 

Provaremos o problema nesse configuração de pontos, onde $$D$$ e $$E$$ estão dentro dos segmentos $$BC$$ e $$CA$$, repsectivamente, enquanto $$F$$ está fora do segmento $$AB$$, mas entenda que o enunciado vale para quaisquer localizações de $$D,E,F$$, porém as outras provas são semelhantes o suficiente para não nos preocuparmos com isso aqui. Sejam $$H,I,J$$ os pés das perpendiculares de $$A,B,C$$, respectivamente, à reta que passa por $$D,E$$ e $$F$$. Agora, por semelhanças de triângulos podemos ver que:

$$\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{AH}{BI}$$

$$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BI}{CJ}$$

$$\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{CJ}{AH}$$

E por fim, multiplicando esse três resultados obtemos que $$\dfrac{FA}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$$. Como queríamos demonstrar!

 

Avançado

Vamos usar uma ideia extremamente importante no meio olímpico: vamos achar uma invariante. Como o próprio nome já diz, vamos achar algo que não varia quando fazemos uma operação e assim poderemos comparar a situação final pedida nos ítens $$a$$ e $$b$$ com a situação apresentada no início.

Associe a cada ameba ocre o número $$1$$ e a cada ameba magenta o número $$2$$. observe que:

• Na operação $$2$$ trocamos uma ameba ocre e uma magenta (de valor total $$1+2=3$$) por três ocres (de valor total $$3\cdot 1=3$$).
• Na operação $$3$$ trocamos duas amebas magentas (de valor total $$2+2=4$$) por quatro ocres (de valor total $$4\cdot 1=4$$).
• Na operação $$4$$ trocamos duas amebas ocres (de valor total $$1+1=2$$) por uma magenta (de valor total $$2$$).

Assim, a soma dos números associados às amebas não varia após uma operação, qualquer que seja ela. No início, a soma dos números é $$201\cdot 2+112=514$$

No ítem $$a$$, a soma final dos números seria $$100\cdot 2 +314=514$$, que dá igual à soma inicial, nos dando a entender que provavelmente é possível obter a configuração final pedida. Vamos tentar construir uma sequência de operações para que isso ocorra.

Juntando $$101$$ amebas ocres com $$101$$ amebas magentas de acordo com a operação $$2$$, obteremos $$303$$ amebas ocres, que, junto com as $$111$$ outras amebas ocres restantes totaliza $$314$$ amebas ocres. Nesse momento temos $$201-101=100$$ amebas magentas, que é o que o problema pedia, logo, tal configuração é alcançável.

No ítem $$b$$, a soma final dos números seria $$99\cdot 2 +314=512$$, que é diferente da soma inicial. Desse modo, tal configuração final não pode ser atingida a partir do ponto inicial do problema.