Soluções Semana 49

INICIANTE

Comparando temperatura com redshift:

$\frac{T_{rec}}{T_0}=1+z$

Substituindo valores:

$T_{rec} \approx 3000$ $K$

INTERMEDIÁRIO

Primeiro, devemos encontrar a distância até a estrela. Para isso, devemos antes calculá-la sem considerar a extinção, para então realizar uma iteração com um valor mais próximo do real. Se você não sabe como iterar, confira a ideia 16 aqui.

Assim, temos, pelo módulo da distância:

$V-M_V=5log(d')-5$

$d'=5754 pc$

Agora, utilizando iteração na equação do módulo da distância corrigida para a extinção.

$V-M_V=5log(d)-5+a_V d$

$d=10^{\frac{V-M_V+5-a_V d}{5}}$

Substituiremos $d'$ por $d$ na equação acima e realizaremos uma iteração, obtendo a distância:

$d=2.1 kpc$

Temos assim, que:

$A_V=a_V d$

$A_V=2.1$ $mag$

Mas sabemos que $A_V/E_{B-V}=3.1$, logo:

$E_{B-V}=0.7$

Finalmente, pela equação do índice de cor, temos:

$(B-V)=(B-V)_0+E_{B-V}$

$(B-V)_0=0.9$

AVANÇADO

a) Num universo composto somente por matéria, temos:

$H^2(a)=H^2_0 \Omega_m$

Assim:

$H^2(a)=H^2_0 \rho_m \frac{8\pi G(a)}{3H^2_0}$

$H^2(a)=H^2_0 \rho_{m_0} a^{-3} \frac{8\pi G_0 f(a)}{3H^2_0}$

$H^2(a)=H^2_0 \Omega_{m_0} f(a) a^{-3}$

Mas $\Omega_{m_0}=1$, logo:

$H^2(a)=H^2_0 f(a) a^{-3}$

Por definição, $H(a)=(\frac{\dot a}{a})$, dessa forma:

$(\frac{\dot a}{a})^2=H^2_0 f(a) a^{-3}$

Rearranjando os termos:

$\frac{da}{dt}=\frac{H_0 e^{\frac{b}{2} (a-1)}}{a^{1/2}}$

Rearranjando novamente:

$\frac{1}{H_0} \int^{a(t)}_0 a^{1/2} e^{\frac{b}{2} (a-1)} da = \int^t_0 dt$

Para este item, queremos $t=t_0$:

$\frac{1}{H_0} \int^1_0 a^{1/2} e^{\frac{b}{2} (a-1)} da=t_0$

$t_0=\frac{e^{b/2}}{H_0} \int^1_0 a^{1/2} e^{-\frac{ab}{2}} da$

Efetuando uma substituição de variáveis, na qual $x^2=\frac{ab}{2}$ e, consequentemente, $da=\frac{4}{b} x dx$, temos:

$t_0=\frac{e^{b/2}}{H_0} \frac{4\sqrt{2}}{b\sqrt{b}} \int^1_0 x^2 e^{-x^2} dx$

Substituindo os valores da integral fornecida, de $b$ e de $H_0$:

$t_0 = 15 \cdot 10^9$ $anos$

b) Utilizando a seguinte equação do item a):

$\frac{1}{H_0} \int^{a(t)}_0 a^{1/2} e^{\frac{b}{2} (a-1)} da = \int^t_0 dt$

Substituindo $a(t) \rightarrow \infty$:

$t_{a_\infty}=\frac{e^{b/2}}{H_0} \frac{4\sqrt{2}}{b\sqrt{b}} \int^\infty_0 x^2 e^{-x^2} dx$

Substituindo os valores da integral fornecida, de $b$ e de $H_0$:

$t_{a_\infty}=34\cdot 10^9$ $anos$