INICIANTE
Comparando temperatura com redshift:
$$\frac{T_{rec}}{T_0}=1+z$$
Substituindo valores:
$$T_{rec} \approx 3000$$ $$K$$
INTERMEDIÁRIO
Primeiro, devemos encontrar a distância até a estrela. Para isso, devemos antes calculá-la sem considerar a extinção, para então realizar uma iteração com um valor mais próximo do real. Se você não sabe como iterar, confira a ideia 16 aqui.
Assim, temos, pelo módulo da distância:
$$V-M_V=5log(d’)-5$$
$$d’=5754 pc$$
Agora, utilizando iteração na equação do módulo da distância corrigida para a extinção.
$$V-M_V=5log(d)-5+a_V d$$
$$d=10^{\frac{V-M_V+5-a_V d}{5}}$$
Substituiremos $$d’$$ por $$d$$ na equação acima e realizaremos uma iteração, obtendo a distância:
$$d=2.1 kpc$$
Temos assim, que:
$$A_V=a_V d$$
$$A_V=2.1$$ $$mag$$
Mas sabemos que $$A_V/E_{B-V}=3.1$$, logo:
$$E_{B-V}=0.7$$
Finalmente, pela equação do índice de cor, temos:
$$(B-V)=(B-V)_0+E_{B-V}$$
$$(B-V)_0=0.9$$
AVANÇADO
a) Num universo composto somente por matéria, temos:
$$H^2(a)=H^2_0 \Omega_m$$
Assim:
$$H^2(a)=H^2_0 \rho_m \frac{8\pi G(a)}{3H^2_0}$$
$$H^2(a)=H^2_0 \rho_{m_0} a^{-3} \frac{8\pi G_0 f(a)}{3H^2_0}$$
$$H^2(a)=H^2_0 \Omega_{m_0} f(a) a^{-3}$$
Mas $$\Omega_{m_0}=1$$, logo:
$$H^2(a)=H^2_0 f(a) a^{-3}$$
Por definição, $$H(a)=(\frac{\dot a}{a})$$, dessa forma:
$$(\frac{\dot a}{a})^2=H^2_0 f(a) a^{-3}$$
Rearranjando os termos:
$$\frac{da}{dt}=\frac{H_0 e^{\frac{b}{2} (a-1)}}{a^{1/2}}$$
Rearranjando novamente:
$$\frac{1}{H_0} \int^{a(t)}_0 a^{1/2} e^{\frac{b}{2} (a-1)} da = \int^t_0 dt$$
Para este item, queremos $$t=t_0$$:
$$\frac{1}{H_0} \int^1_0 a^{1/2} e^{\frac{b}{2} (a-1)} da=t_0$$
$$t_0=\frac{e^{b/2}}{H_0} \int^1_0 a^{1/2} e^{-\frac{ab}{2}} da$$
Efetuando uma substituição de variáveis, na qual $$x^2=\frac{ab}{2}$$ e, consequentemente, $$da=\frac{4}{b} x dx$$, temos:
$$t_0=\frac{e^{b/2}}{H_0} \frac{4\sqrt{2}}{b\sqrt{b}} \int^1_0 x^2 e^{-x^2} dx$$
Substituindo os valores da integral fornecida, de $$b$$ e de $$H_0$$:
$$t_0 = 15 \cdot 10^9$$ $$anos$$
b) Utilizando a seguinte equação do item a):
$$\frac{1}{H_0} \int^{a(t)}_0 a^{1/2} e^{\frac{b}{2} (a-1)} da = \int^t_0 dt$$
Substituindo $$a(t) \rightarrow \infty$$:
$$t_{a_\infty}=\frac{e^{b/2}}{H_0} \frac{4\sqrt{2}}{b\sqrt{b}} \int^\infty_0 x^2 e^{-x^2} dx$$
Substituindo os valores da integral fornecida, de $$b$$ e de $$H_0$$:
$$t_{a_\infty}=34\cdot 10^9$$ $$anos$$