Semana 44 (02 de abril de 2019)

Iniciante

Jamile escreve dois inteiros positivos $a$ e $b$ num quadro. Em cada minuto, ela apaga os dois números que estão escritos no quadro e escreve a soma e a diferença (positiva) deles. Prove que depois de $20$ minutos, existe um número escrito no quadro que é maior que $1000$.

Intermediário

Seja $n$ um inteiro positivo. Considere a sequência definida por

$a_i =1$ $\forall i=1,2,...,n-2$

$a_{n-1}=n-1$

$a_{k+n}= a_{k+n-1}+a_{k+n-2}+...+a_1$ $\forall k \ge 0$

Prove que se $m$ é um inteiro positivo, então existe um inteiro positivo $p$ (dependendo de $m$) com $m|a_{p}$.

Avançado

Determine todas as funções $f$ dos inteiros positivos nos inteiros positivos satisfazendo

$f(f(n))=f(n)+1$

para todo $n$ inteiro positivo.