Soluções – Semana 124

Escrito por Davi Lucas

Iniciante

Leis de Kepler

A Segunda Lei de Kepler, conhecida como Lei das Áreas, afirma que a velocidade areolar de um planeta é constante. Isso significa que a linha que conecta o planeta à sua estrela varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Dessa forma, a área varrida ($A$) é diretamente proporcional ao tempo decorrido ($\Delta t$). Podemos expressar a constância da velocidade areolar pela seguinte relação:

$$v_{\text{areolar}} = \frac{A_1}{\Delta t_1} = \frac{A_2}{\Delta t_2}$$

Para encontrar a razão entre as áreas, reorganizamos a equação:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\Delta t_1}{\Delta t_2}$$

Substituindo os valores dados ($\Delta t_1 = 30$ dias e $\Delta t_2 = 90$ dias), obtemos:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{30}{90} \rightarrow \boxed{\frac{A_2}{A_1} = \frac{1}{3}}$$

A própria lei das áreas nos dá a resposta. Para que a área varrida por segundo seja constante, o planeta precisa se mover mais rápido quando está mais perto da estrela (para compensar o “raio” menor) e mais devagar quando está longe. Como o trecho 1 é o mais próximo, sua velocidade média é maior. Você também poderia analisar a conservação de energia e chegar no mesmo resultado.

Intermediário

Força Gravitacional

Sabendo que um vetor $\vec{r}$ pode ser escrito como $\vec{r} = |\vec{r}| \cdot \hat{r}$, onde $|\vec{r}|$ é o seu módulo (ou seja, o tamanho do vetor) e $\hat{r}$ é o seu versor (um vetor unitário que indica a direção), podemos encontrar a magnitude da força a partir da sua equação vetorial.
Partindo da lei da gravitação:

$$\vec{F} = G\frac{m_1m_2}{r^3} \vec{r}$$

Para encontrar a relação entre as magnitudes, aplicamos o operador módulo em ambos os lados:

$$|\vec{F}| = \left| G\frac{m_1m_2}{r^3} \vec{r} \right|$$

Como $G$, $m_1$, $m_2$ e $r^3$ são escalares positivos, e sabendo que $|\vec{r}| = r$, a equação se torna:

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^3} \cdot r$$

Simplificando, chegamos à fórmula da magnitude da força:

$$\boxed{F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}}$$

Com esta fórmula, concluímos que quanto maior a distância $r$, menor a força $F$. Essa é uma relação de inverso do quadrado, o que nos permite esboçar o seguinte gráfico:

Avançado

A Dieta de uma Estrela: Perda de massa

O problema pede para calcular a taxa de perda de massa da estrela, $\frac{\Delta M}{\Delta t}$, com base nas variações observadas na órbita de seu planeta. O ponto de partida é a 3ª Lei de Kepler em sua forma Newtoniana para órbitas circulares, que relaciona a massa da estrela ($M$) com o raio ($r$) e o período ($T$) da órbita:

$$GM = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2}$$

Isolando a massa da estrela, temos:

$$M = \frac{4\pi^2}{G} \left( \frac{r^3}{T^2} \right)$$

Como $M$, $r$ e $T$ estão variando com o tempo, aplicamos a aproximação para pequenas variações ($\frac{\Delta}{\Delta t}$). Utilizando a dica fornecida no enunciado, a relação para a taxa de variação da massa é:

$$\frac{\Delta M}{\Delta t} = \frac{4\pi^2}{G} \left( \frac{3r^2}{T^2}\frac{\Delta r}{\Delta t} - \frac{2r^3}{T^3}\frac{\Delta T}{\Delta t} \right)$$

Agora, substituímos os valores fornecidos.
Calculamos cada termo dentro do parêntese separadamente.

Termo 1:

$$\frac{3r^2}{T^2}\frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{3(2.0 \cdot 10^{11} m )^2}{(4.0 \cdot 10^7 s)^2} \cdot (5.0 \frac{m}{s}) = 3.75 \cdot 10^{8} \frac{m^3}{s^3}$$

Termo 2:

$$\frac{2r^3}{T^3}\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{2 \cdot (2.0 \cdot 10^{11} \text{ m})^3}{(4.0 \cdot 10^7 \text{ s})^3} \cdot \left( 2 \frac{\text{s}}{\text{s}} \right) = 5 \cdot 10^{11} \frac{\text{m}^3}{\text{s}^3}$$

Subtraindo os termos e multiplicando pela constante externa:

$$\frac{\Delta M}{\Delta t} = \frac{4\pi^2}{6.67\cdot 10^{-11}} \left( 3.75 \cdot 10^8 - 5 \cdot 10^{11}{} \right)$$

$$\frac{\Delta M}{\Delta t} = \frac{4\pi^2}{6.67 \cdot 10^{-11}}{} \left( - 4.996 \cdot 10^{11} \right)$$

$$\frac{\Delta M}{\Delta t} \approx (5.92 \cdot 10^{11}{}) \cdot (-4.996 \cdot 10^{11}{}) \approx - 2.958 \cdot 10^{23} \frac{\rm{kg}}{\rm{s}}$$

A taxa de perda de massa da estrela Ahniduamp é de aproximadamente:

$$\boxed{ \frac{\Delta M}{\Delta t} \approx -2,96 \times 10^{23} \text{ kg/s} }$$

O sinal negativo confirma que a estrela está, de fato, perdendo massa.

Internacional

Enigma da matéria escura

a) Usamos a fórmula do efeito Doppler não relativístico $v_r = c \frac{\lambda_{obs} - \lambda_0}{\lambda_0}$ para cada galáxia. Por brevidade, os resultados são compilados na tabela abaixo (velocidades em $\times 10^6 m/s$).

Galáxia	$v_r (10^6 \frac{\rm{m}}{\rm{s}})$	Galáxia	$v_r (10^6 \frac{\rm{m}}{\rm{s}})$	Galáxia	$v_r (10^6 \frac{\rm{m}}{\rm{s}})$
1	1.28	11	2.06	21	1.37
2	0.78	12	0.41	22	1.01
3	2.24	13	2.38	23	2.15
4	1.60	14	0.91	24	0.32
5	1.87	15	1.65	25	2.83
6	0.55	16	1.96	26	1.51
7	2.65	17	1.14	27	1.69
8	1.19	18	2.56	28	0.87
9	1.74	19	0.69	29	2.47
10	1.46	20	1.78	30	1.23

b) A soma correta das 30 velocidades é $46.35 \cdot 10^6 \text{ m/s}$. A velocidade média é:

$$\bar{v}_r = \frac{\sum_{i=1}^{30} v_i}{30} = \frac{46.35 \cdot 10^6}{30} \rightarrow \boxed{ \bar{v}_r = 1.545 \cdot 10^6 \text{ m/s}}$$

Com a média correta, a dispersão de velocidades radiais ($\sigma_r$) é o desvio padrão da amostra:

$$\sigma_r = \sqrt{\frac{\sum(v_i - \bar{v}_r)^2}{N-1}} = \sqrt{\frac{1.411 \cdot 10^{13}}{29}} \approx \sqrt{4.86 \cdot 10^{11}} \rightarrow \boxed{ \sigma_r \approx 6.97 \cdot 10^5 \text{ m/s}}$$

c) A energia cinética total ($K$) de um sistema de massa $M$ é $K = \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle$. Assumindo um movimento isotrópico, a dispersão de velocidades tridimensional ($\sigma_{3D}$) está relacionada à dispersão radial por $\sigma_{3D}^2 = \langle v^2 \rangle = \sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2 = 3\sigma_r^2$. Portanto, a expressão para a energia cinética é:

$$K = \frac{1}{2} M \sigma_{3D}^2 \rightarrow \boxed{ K = \frac{3}{2} M \sigma_{r}^2}$$

d) O Teorema do Virial é $2K + U = 0 \implies 2K = -U$. Substituindo as expressões para $K$ e $U$:

$$2 \left( \frac{3}{2} M \sigma_{r}^2 \right) = - \left( -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R} \right) \implies \boxed{M = \frac{5 R \sigma_{r}^2}{G}}$$

Substituindo os valores numéricos corrigidos:

$$M = \frac{5 \cdot (7 \cdot 10^{22} \text{ m}) \cdot (6.97 \cdot 10^5 \text{ m/s})^2}{6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2} \approx \frac{5 \cdot (7 \cdot 10^{22}) \cdot (4.86 \cdot 10^{11})}{6.67 \cdot 10^{-11}}$$

$$M = \frac{1.70 \cdot 10^{35}}{6.67 \cdot 10^{-11}}$$

$$\boxed{ M_{\text{total}} \approx 2.55 \cdot 10^{45} \text{ kg} }$$

e) Primeiro, convertemos a massa luminosa para kg:

$$M_{\text{lum}} = (3 \cdot 10^{14} M_{\odot}) \cdot (2 \cdot 10^{30} \text{ kg}/M_{\odot}) = 6 \cdot 10^{44} \text{ kg}$$

A massa de matéria escura é a diferença entre a massa total e a massa luminosa:

$$M_{\text{escura}} = M_{\text{total}} - M_{\text{lum}} = (2.55 \cdot 10^{45} \text{ kg}) - (6 \cdot 10^{44} \text{ kg}) = 1.95 \cdot 10^{45} \text{ kg}$$

Finalmente, a porcentagem de matéria escura corrigida é:

$$\%_{\text{escura}} = \frac{M_{\text{escura}}}{M_{\text{total}}} \cdot 100\% = \frac{1.95 \cdot 10^{45} \text{ kg}}{2.55 \cdot 10^{45} \text{ kg}} \cdot 100\%$$

$$\boxed{ \%_{\text{escura}} \approx 76.5\% }$$