Problemas Matemática – Semana 30

INICIANTE:

Sejam $a,b$ naturais tais que $b^2+ba+1$ divide $a^2+ab+1$. Prove que $a=b$.

INTERMEDIÁRIO:

Prove que existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que $\dfrac{5^{n-2}-1}{n}$ é um inteiro.

AVANÇADO:

Sejam $a,b,c$ reais positivos. Prove que:

$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1$.