Soluções Cálculo – Semana 23

Iniciante

A área sob o gráfico da curva dada será simplesmente a integral indefinida da função! Ou seja: $$\displaystyle \int (200x^3+x^2-4x)dx=200\displaystyle \int x^3 dx+\displaystyle \int x^2 dx-4\displaystyle \int x dx$$ $$=\frac{200x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-4\frac{x^2}{2}+C=50x^4+\frac{x^3}{3}-2x^2+C$$

Intermediário

Sabe-se a expressão para a posição do carrinho. Derivando-a, acha-se a velocidade: $$v(t)=sen(t)$$. Como se quer achar a velocidade máxima e a função seno é perfeitamente contínua, pode-se igualar a variação da velocidade (aceleração) a zero e assim achar-se o tempo quando a velocidade é máxima e, assim, substitui-lo na função velocidade e achar a velocidade máxima do carrinho: $$\frac{dv}{dt}=0 \rightarrow cos(t)=0 \rightarrow t=\frac{\pi}{2}$$ $$v(\frac{\pi}{2})=sen (\frac{\pi}{2})=1$$

Avançado

Solução adaptada de Humberto Borges

Utilizando o método de integração por substituição, tem-se:

$$ u = 3x $$ tal que $$ du = 3 dx $$, ou $$ (1/3) du = dx $$. Logo,
$$ \displaystyle{ \int { \sin {3x} } \,dx } = \displaystyle{ \int { \sin u } \,(1/3)du } $$
$$ = \displaystyle{ (1/3) \int { \sin u } \,du } $$
$$ = (1/3)\displaystyle{ (-\cos{u}) + C } $$
$$ = -\displaystyle{ {1 \over 3}\cos{3x} + C } $$