Iniciante
$$2x+3y=2014 \Rightarrow 2 \mid y$$. Chame $$y=2k$$ então temos $$2x+6k=2014 \Rightarrow 2014-6k=2x$$ onde claramente $$x$$ é inteiro se variarmos $$k$$, logo para todo $$k$$ vale que $$x$$ é inteiro e positivo, logo basta achar o número de $$k’s$$. Vejamos que o menor $$k$$ é $$1$$ pois $$y>0 \Rightarrow k>0$$ e o maior $$k$$ é $$335$$ pois $$k=336 \Rightarrow 6k=2016>2014$$.
Intermediário
$$43^{101}+23^{101} \equiv (-23)^{101}+23^{101} \equiv (-1)^{101} \cdot 23^{101} + 23{101} \equiv -23^{101} + 23^{101} \equiv 0 (mod\ 66)$$.
Avançado
Façamos $$x=a^3$$,$$y=b^3$$,$$z=c^3$$. Temos então que $$abc=1$$. Logo, transformando os 1’s dos numeradores e denomindores em abc, nossa desigualdade fica assim:
$$\dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\dfrac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)} \ge \dfrac{3}{4}$$
$$\dfrac{a^9}{(abc+b^3)(abc+c^3)}+\dfrac{b^9}{(abc+a^3)(abc+c^3)}+\dfrac{c^9}{(abc+a^3)(abc+b^3)} \ge \dfrac{3abc}{4}$$
Abrindo e multiplicando por $$2$$, temos:
$$\displaystyle\sum_{sym} a^9(abc+a^3)\ge \dfrac{3abc}{4} \displaystyle\sum_{sym} (abc+a^3)(abc+b^3)(abc+c^3) \Rightarrow 4\displaystyle\sum_{sym}a^{12}+a^{10}bc \ge 3a^2b^2c^2 \displaystyle\sum_{sym} (a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab) \Rightarrow \displaystyle\sum_{sym} 4a^{12} + 4a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 6a^4b^4c^4 + a^5b^5c^2 + a^6b^3c^3.$$
Veja que, por Muirhead:
$$\displaystyle\sum_{sym} 4a^{12}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 4a^4b^4c^4$$
$$\displaystyle\sum_{sym} 2a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} 2a^4b^4c^4$$
$$\displaystyle\sum_{sym} a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} a^5b^5c^2$$
$$\displaystyle\sum_{sym} a^{10}bc \ge \displaystyle\sum_{sym} a^6b^3c^3$$
Logo, o problema acabou.
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