Autor: Rogério Júnior
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Soluções Matemática – Semana 20
Iniciante Seja $$d=mdc(x,y)$$ e chame $$x=x_1 \cdot d$$ e $$y=y_1 \cdot d$$ de forma que $$mdc(x_1,y_1)=1$$. Logo: $$a = \dfrac{x^2+y^2}{xy} = \dfrac{d^2(x_1)^2+d^2(y_1)^2}{d^2 x_1y_1} = \dfrac{x_1^2+y_1^2}{x_1y_1}$$ e consequentemente, $$x_1\mid y_1^2$$ e $$y_1\mid x_1^2$$ e não há outra opção além de $$x_1=1$$ e $$y_1=1$$: $$a=\dfrac{1^2+1^2}{1\cdot 1}=2$$. Itermediário: Sim. Tomando $$n=10111111111$$, temos $$n^2=102234567898987654321$$. Avançado: Temos $$2\cdot3^x = 7^y…
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Avançado Informática – Semana 21
Remendo Carlão é muito preocupado com o meio ambiente. Sempre que possível, ele tenta utilizar meios de transporte menos poluentes. Recentemente ele conseguiu um emprego próximo de casa e agora está utilizando sua bicicleta para ir ao trabalho. Infelizmente, no caminho entre sua casa e seu emprego, há uma fábrica de pregos, que frequentemente deixa…
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Avançado Informática – Semana 20
Sequência da Onda A Onda é uma sequência de inteiros. Ela tem algumas propriedades interessantes: A Onda tem tamanho ímpar, da forma $$L = 2\cdot n+1$$; Os primeiros $$(n+1)$$ inteiros da Onda formam uma sequência estritamente crescente; Os últimos $$(n+1)$$ inteiros da Onda formam uma sequência estritamente decrescente; Não há dois termos adjacentes iguais em uma…
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Química – Semana 20
Iniciante Se a porcentagem, em massa, de água de cristalização em sulfato de cobre hidratado é de $$36.1\%$$, qual o número de mols de água por mol de $$CuSO_4$$? Intermediário $$100 g$$ de uma solução aquosa de cloreto de bário a $$10\%$$ foram misturadas com a mesma massa de uma solução de sulfato de sódio,…
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Soluções Química – Semana 19
Iniciante V = nRT/p V = 1. 8,3145. 273,15 / 1.105 V = 0,02271 m3.mol-1 Intermediário a) Composto A (2,4-dimetil-pent-2-eno) b) Respectivamente, temos: Avançado a) ∆Tc = 1,86. (0,8 / 10) . (1 / 4,0.105) ∆Tc = 3,72.10-7 oC п = (0,8.10-3g / 4,0.10-5 g/mol).(1 / 10.10-3L).(0,082 atm.L / mol.K). 298,15K . (760 torr/ 1…
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Cálculo – Semana 18
Iniciante Usando o conceito de limite, calcule a derivada da função: $$f(x)=5x^2-3x+7$$ Intermediário A derivada de uma função f é definida por: O gráfico da função contínua f’, mostrado na figura abaixo, intercepta o eixo x em $$x=-2$$ e $$x=3ln(\frac{3}{5})$$. O gráfico de g em $$-4\leq x \leq 0$$ é um semicírculo, e $$f(0)=5$$. Ache…
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Soluções Cálculo – Semana 17
Iniciante Pela regra do produto, tem-se: $$f'(x)=6x^{\frac{3}{2}}\cdot d[tan(x)]+d[6x^{\frac{3}{2}}]\cdot tan(x)$$ $$=6x^{\frac{3}{2}}sec^2(x)+6\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}tan(x)$$ $$=6x^{\frac{3}{2}}sec^2(x)+9x^{\frac{1}{2}}$$ Simplificando: $$=3x^{\frac{1}{2}}(2x\cdot sec^2(x)+3tan(x))$$ Intermediário Tem-se o gráfico de $$g'(x)$$ e quer-se achar g(x). Para isso, o conceito de integral é bastante útil: $$g(3)=g(0)+\displaystyle \int_{0}^{3} g'(x)dx=5+\frac{\pi\cdot 2^2}{4}+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}+\pi$$ (Lembre-se que $$g(0)=5$$) $$g(-2)=g(0)-\displaystyle \int_{0}^{-2} g'(x)dx=5-\frac{\pi\cdot 2^2}{4}=5-\pi$$ Avançado Há um simples primeiro passo para resolver este problema,…
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Física – Semana 20
Iniciante Considere o seguinte sistema físico: Uma bolinha pontual está sendo jogada de uma colina,essa que tem uma altura $$H$$,com uma velocidade $$v$$. Sabendo que a bolinha faz um ângulo $$\theta$$ com a horizontal(quando lançada): a) Que distância horizontal a partícula percorre até chegar ao “fundo” da colina? b) Que $$\theta$$ maximiza essa distância? Intermediário…
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Matemática – Semana 20
Iniciante Sejam $$x,y$$ inteiros para os quais a fração $$a=\dfrac{x^2+y^2}{xy}$$ é inteira. Ache todos os possíveis valores de $$a$$. Intermediário Existe algum inteiro positivo $$n$$ cuja soma dos dígitos é $$10$$ e a soma dos dígitos de $$n^2$$ é $$100$$? Avançado Encontre todos os inteiros não negativos $$x$$ e $$y$$ tais que $$7^y – 2…
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Soluções Matemática – Semana 19
Iniciante Qualquer número par pode ser escrito na forma $$x=2k \Rightarrow x^4=16k^4$$, logo um número par elevado a quarta potência deixa resto 0 módulo 16. Da mesma forma vemos que um número ímpar pode ser escrito na forma $$x=2k+1 \Rightarrow x^4 (2k+1)^4=16k^4+4(8k^3)+6(4k^2)+4(2k)+1=16(k^4+2k^3)+8(3k^2+k)+1=16(k^4+2k^3)+8(k(3k+1))+1$$, mas veja que $$k(3k+1)$$ é par, pois caso $k$ não seja par, então…