Autor: Rogério Júnior
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Soluções Matemática – Semana 21
Iniciante Como $$mdc(8,29)=1$$, pelo pequeno teorema de Fermat: $$8^{29-1}\equiv1\pmod{29} \Rightarrow (8^{28})^{32}\equiv1^{32}\pmod{29} \Rightarrow 8^{896}\equiv1\pmod{29} \Rightarrow 8^{900}\equiv8^4\equiv8^2 \cdot 8^2 \equiv 64 \cdot 64 \equiv 6 \cdot 6 \equiv 7\pmod{29} \Rightarrow 8^{900}$$ deixa resto $$7$$ na divisão por $$29$$. Intemediário Aplicação direta do Teorema de Turán: $$\mid A \mid \ge \dfrac{n^2}{2}(1-\dfrac{1}{5}) = \dfrac{4n^2}{10} = \dfrac{2n^2}{5}$$ Avançado A prova…
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Física – Semana 22
Iniciante Dado o seguinte sistema físico: Uma bacia com água fervendo é posta para evaporar debaixo de uma panela com um material de capacidade calorífica $$C_{Material}$$,sabendo que a taxa de variação da temperatura no tempo é q,ache a variação temporal de massa de água na bacia. Obs:Suponha que toda água evaporada se transporta para a…
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Soluções Física – Semana 21
Iniciante Sabemos que a energia do sistema se conserva,o que ocorrerá aqui é transformação de energia cinética em energia térmica. A energia cinética se dá por: $$Q=K=\frac{mv^2}{2}$$ Mas,por calorimetria sabemos que: $$Q=C_{m}\Delta T_{m} +C_{M}\Delta T{M}$$ E,já que a temperatura do final é a mesma: $$\Delta T{m}=T_{f} -T_{o_{m}}$$ E o mesmo pra M,trocando m por M,simplificando…
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Química – Semana 21
Iniciante Em termos de propriedades atômicas e iônicas, racionalize as seguintes observações sobre metais. a. Diferente de não-metais, metais conduzem bem eletricidade. Semicondutores conduzem num grau intermediário. b. A condutividade elétrica de um metal (como o ferro) diminui com o aumento da temperatura, mas a de um semicondutor (como silício) aumenta. c. Objetos de ferro…
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Soluções Química – Semana 20
Iniciante $$M(CuSO_4) = 63,6+32,0+64,0$$ $$\% H_2O = (18x)/(159,6+18x) = 0,361$$ $$11,502x = 57,6156$$ $$x= 5 mol \ de \ H_2O$$ Intermediário a) $$BaCl_2 + Na_2SO_4 \rightarrow BaSO_4 + 2NaCl$$ b) $$nBaCl_2 = 100g sol \cdot (10g \ BaCl_2/100g \ sol) \cdot (1 \ mol \ BaCl_2/208,2g BaCl_2$$ $$nBaCl_2 = 48 mmol$$ $$nNa_2SO_4 = 100g sol…
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Física – Semana 21
Iniciante Qual a temperatura final de uma bala que foi atirada com velocidade $$v_{o}$$ num alvo rígido? Dados a mais: Capacidade térmica e temperatura da bala e do alvo e massa da bala Intermediário O sistema no problema iniciante lembra o famoso pêndulo balístico, contudo, no pêndulo balístico o alvo pode se mexer,e ele está…
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Soluções Física – Semana 20
Iniciante: a) Sabemos que,para lançamentos oblíquos no vácuo: $$y(x)=tg(\theta)x-\frac{gx^2 sec^2(\theta)}{2(v_{o})^2}$$ Simplificando: $$x^2-\frac{2(v_{o})^2 sen(\theta)cos(\theta)}{g}x+\frac{2(v_{o})^2 cos^2 (\theta). y}{g}=0$$ Obs:$$y=-H$$ Logo,por bhaskara: $$x=\frac{(v_{o})^2 sen(\theta) cos(\theta)}{g}+\sqrt[2]{(\frac{(v_{o})^2 sen(\theta) cos(\theta)}{g})^2+\frac{2v_{o}H cos^2 (\theta)}{g}}$$ b) De novo,simplifiquemos a equação para os lançamentos: $$\frac{2(v_{o})^2 y}{g}=\frac{2(v_{o})^2 x tg(\theta)}{g} -x^2 tg^2 (\theta) -x^2 \Rightarrow x^2 tg^2 (\theta) – \frac{2(v_{o})^2 x tg(\theta)}{g}+x^2 +\frac{2 (v_{o})^2 y}{g}=0$$ Perceba que…
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Cálculo – Semana 19
Iniciante Sabendo que $$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$, quanto vale $$\displaystyle \int e^x dx$$? Intermediário Diferencie $$y=x^{e^x}$$ Avançado Use a definição de limite de integral definida para achar $$\displaystyle{ \int^{1}_{0} (2x+3) \, dx}$$
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Soluções Cálculo – Semana 18
Iniciante Sabe-se que $$f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Assim, $$f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{{5(x+h)^2-3(x+h)+7}-5x^2+3x-7}{h}$$ Simplificando a expressão: $$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{5x^2+10xh+5h^2-3x-3h-5x^2+7+3x-7}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{10xh+5h^2-3h}{h}$$ Colocando h em evidência: $$ =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h(10x+5h-3)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} 10x+5h-3=10x-3$$ Intermediário Como foi dada a derivada de f, basta integrá-la para achar f (a área…
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Matemática – Semana 21
Iniciante: Encontre o resto de $$8^{900}$$ por $$29$$. Intermediário: Seja um grafo G com pelo menos $$\dfrac{2n^2}{5}$$ arestas, prove que ele possui um $$5$$-clique (um grafo completo de $$5$$ vértices). Avançado: Dados um círculo $$\omega$$ de centro O e um ponto P exterior a $$\omega$$, sejam $$l_1$$, $$l_2$$ retas passando por $$P$$ tais que $$l_1$$…
