Aula de Diogo Netto
Introdução
É fato experimental que (desprezando forças de resistência do ar e afins) todos os corpos próximos à superfície da Terra caem com a mesma aceleração $$g\approx9,8\frac{m}{s^2}$$, independentemente de suas massas. Assim, em um ambiente a vácuo, esperamos que uma pena e um objeto muito mais denso executem o mesmo movimento de queda, como mostra a imagem (retirada de pessoal.ect.ufrn.br):
Lançamento Vertical
O caso mais simples de lançamento de um corpo que podemos estudar é o lançamento vertical, no qual o corpo é lançado para cima com uma velocidade $$v_0$$.
Uma vez que a aceleração é constante, teremos um MRUV e as equações da aula de movimento retilíneo se aplicam. Podemos assim determinar os parâmetros relevantes do movimento.
Altura máxima ($$H_{max}$$)
É fato que no ponto mais alto de sua trajetória o corpo tem velocidade nula. Por Torricelli, podemos escrever:
$$v^2=v_0^2+2a\Delta s \Rightarrow 0=v_0^2-2gH_{max} \Rightarrow H_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$$
Observação: O sinal negativo na aceleração se deve ao fato de que a gravidade aponta para baixo, e orientamos o nosso eixo $$y$$ para cima, conforme a figura.
Tempo total de Voo ($$t_{voo}$$)
Usando que a velocidade é nula no ponto mais alto é nula, e denotando o tempo em que a partícula atinge seu ápice como $$t_{topo}$$, ficamos com:
$$v=v_0+at \Rightarrow 0=v_0-gt_{topo} \Rightarrow t_{topo}=\frac{v_0}{g}$$
Para a segunda parte do movimento, a queda, notamos que o tempo de subida é igual ao de descida, pela simetria do movimento. Logo,
$$t_{voo}=t_{topo}+t_{queda}=2t_{topo}=\frac{2v_0}{g}$$.
Podemos escrever os respectivos tempos em função de $$H_{max}$$ também:
$$t_{topo}=t_{queda}=\sqrt{\frac{2H_{max}}{g}}$$ e $$t_{voo}=2\sqrt{\frac{2H_{max}}{g}}$$
Observação: Se quiséssemos tratar de uma queda livre, em que um corpo inicialmente em repouso cai de uma altura $$H_0$$, conforme a figura abaixo, a equação acima permite obter:
$$t_{queda}=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$$ e $$v_{final}=gt_{queda}=\sqrt{2gH_0}$$.
De fato, aplicando as equações do MRUV podemos obter os parâmetros que quisermos nesse movimento.
Independência dos movimentos
O fato de existir uma aceleração no eixo $$y$$ não altera o movimento no eixo $$x$$, que continua sendo uniforme, como se o movimento em $$x$$ não enxergasse o que acontece em $$y$$.
Veja esse vídeo para uma melhor visualização do princípio: www.youtube.com/watch?v=KacTRPL1MtE&pbjreload=10
Lançamento Horizontal
Vamos estudar o caso em que lançamos um corpo de uma altura $$H_0$$ com uma velocidade horizontal $$v_0$$, conforme mostra a figura:
O Princípio da Independência que discutimos acima permite escrever as equações para os eixos $$x$$ e $$y$$ separadamente:
Para o eixo $$x$$: $$x=v_0t$$, ou seja, MRU em $$x$$
Para o eixo $$y$$; $$y=H_0-\frac{gt^2}{2}$$, ou seja, MRUV em $$y$$
Vamos obter os parâmetros relevantes do movimento.
Tempo de voo ($$t_{voo}$$)
Basta fazer $$y=0$$. Logo,
$$t_{voo}=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$$
Alcance ($$D$$)
Uma vez que em $$x$$ temos um MRU, é fácil perceber que:
$$D=v_0 t_{voo}=v_0\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$$
Velocidade Final ($$v_{final}$$)
Em $$x$$ a velocidade é constante e igual a $$v_0$$. No instante $$t=t_{voo}$$, teremos:
$$v_y=-gt_{voo}=-\sqrt{2gH_0} \Rightarrow v_{final}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+2gH_0}$$
Equação da Trajetória ($$y(x)$$)
Isolando $$t$$ como função de $$x$$, obtemos $$t=\frac{x}{v_0}$$. Substituindo na equação para $$y$$,
$$y=H_0-\frac{gt^2}{2}=H_0-\frac{gx^2}{2v_0^2}$$, de modo que a trajetória é parabólica.
Lançamento Oblíquo em uma superfície plana
O último caso possível de lançamento é o oblíquo, em que a partícula é lançada do solo com velocidade $$v_0$$, de modo que esta forme um ângulo $$\theta$$ com a horizontal, conforme mostrado na figura abaixo.
O Princípio da Independência dos movimentos nos permite escrever as equações para os dois eixos separadamente.
Para o eixo $$x$$: $$x=v_0\cos\theta t$$, ou seja, temos um MRU em $$x$$.
Para o eixo $$y$$: $$y=v_0\sin\theta t-\frac{gt^2}{2}$$, ou seja, temos um MRUV em $$y$$.
Vamos obter os parâmetros relevantes do movimento.
Altura Máxima ($$H_{max}$$)
Note que no ponto mais alto da trajetória, a velocidade em $$y$$ se anula (teremos apenas a componente $$v_x=v_0\cos\theta$$), logo um Torricelli no eixo y nos dá:
$$v_y^2=v_{0y}^2+2a\Delta s \Rightarrow 0=(v_0\sin\theta)^2-2gH_{max} \Rightarrow H_{max}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$
Tempo de Voo($$t_{voo}$$)
Vamos calcular o tempo $$t_{topo}$$ em que a partícula atinge o ápice. Notando que $$v_y=0$$ nesse ponto, escrevemos:
$$v_y=v_0\sin\theta-gt \Rightarrow t_{topo}=\frac{v_0\sin\theta}{g}$$
Pela simetria do movimento, $$t_{voo}=2t_{topo}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}$$
Alcance ($$D$$)
É fácil perceber que $$D=v_0\cos\theta\cdot t_{voo}=\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$$
Usando a identidade trigonométrica $$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$, ficamos com:
$$D=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$$
Equação da trajetória ($$y(x)$$)
Isolando $$t=\frac{x}{v_0\cos\theta}$$ e substituindo na equação de $$y$$ como função do tempo, obtemos:
$$y=\tan\theta\cdot x-\frac{gx^2}{2g\cos^2\theta}$$, de modo que a trajetória também é parabólica.
Velocidade Final ($$v_{final}$$)
Como $$v_y=v_0\sin\theta-gt$$, em $$t=t_{voo}$$ temos $$v_y=-v_0\sin\theta$$, de modo que:
$$v_{final}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=v_0\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=v_0$$
Exercícios
Questão Iniciante Semana 7 – Solução
Questão Iniciante Semana 12 – Solução
Questão Iniciante Semana 13 – Solução
Questão Iniciante Semana 19 – Solução (em breve)
Questão Iniciante Semana 20 – Solução