Problemas da Semana

Iniciante Prove que existem infinitos números primos que deixam resto na divisão por . Intermediário Dados pontos no plano em posição geral, prove que o número máximo de segmentos que

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Iniciante Existem inteiros positivos satisfazendo a seguinte equação? Intermediário Sejam inteiros positivos menores ou iguais a e inteiros positivos menores ou iguais a . Prove que é possível escolher alguns

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Iniciante Seja um inteiro positivo. Dizemos que um número composto é esquisito se não divide Prove que não existem infinitos números esquisitos. Intermediário Sejam inteiros e uma sequência de inteiros satisfazendo

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Iniciante Considere quadradinhos de área um cada. Prove que não é possível cobrir um círculo de área com esses quadradinhos de modo que nenhuma parte do círculo fique descoberta. Intermediário

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Iniciante Ana joga um jogo no plano. Inicialmente ela tem n pontos marcados e alguns segmentos traçados entre eles. A cada minuto, Ana escolhe dois segmentos e que se intersectam,

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Iniciante Temos bolinhas ao redor de uma grande circunferência. Algumas delas são azuis e todas as outras são vermelhas. Prove que sempre há duas bolinhas consecutivas que possuem a mesma

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Iniciante Sabendo que amizade é uma relação mútua (isto é, se Ana é amiga de Beatriz, então Beatriz também é amiga de Ana), Prove que em qualquer festa com pessoas

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Iniciante Ache o raio do incírculo de um trângulo com e . Intermediário Seja um inteiro dado. Prove que se existem infinitos inteiros positivos com , então todos os inteiros

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  Iniciante Ache todos os números primos tais que e são todos números primos. Intermediário Determine se existe um polinômio de coeficientes reais satisfazendo para todo real. Avançado Determine o

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Iniciante Seja um triângulo retângulo em e o ponto médio de . Prove que Intermediário Ache todos os inteiros positivos tais que Avançado Sejam reais positivos com . Prove que

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