Problemas da Semana

Iniciante Prove que se são inteiros primos entre si, então não possui nenhum fator primo da forma . Intermediário Se com reais, ache o produto . Avançado Dado um ponto

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Iniciante Prove que o conjunto é infinito. Intermediário Ache todas as funções tais que para todo . Avançado Determine se existem polinômios não constantes tais que

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Iniciante Ache todos os inteiros positivos tais que . Intermediário Ache todos os polinômios tais que vale Avançado Sejam inteiros positivos com e . Defina . Prove que existe inteiro

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 Iniciante Seja um triângulo de área e um ponto em seu interior tal que Prove que $M$ é o ortocentro de . Intermediário Seja um primo da forma . Prove

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INICIANTE: Se são números reais tais que , prove que: INTERMEDIÁRIO: Para todo inteiro positivo , prove que . AVANÇADO Encontre todas as funções  tais que Para todos

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AVANÇADO Aplicando MA-MG, nós temos . Somando de modo similar temos, . Isso é o mesmo que provar que: Aplicando o familiar resultado , nós temos que Multiplicando as desigualdades

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BÁSICO: Prove que as expressões e são divisíveis por para os mesmos pares de valores dos inteiros e .   INTERMEDIÁRIO: Considere todos os subconjuntos não-vazios do conjunto , dos

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INICIANTE: Por absurdo, suponha que exista. Em particular, não é múltiplo de . Elevando a congruência à -ésima potência e aplicando o Teorema de Fermat, obtemos: , pois é ímpar.

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INICIANTE: Mostre que, se é um primo congruente a módulo , então não existe tal que: . INTERMEDIÁRIO: Seja um real positivo tal que: . Prove que a equação não

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INICIANTE: . Eleve ao quadrado ambos os lados: Multiplique ambos lados por : . INTERMEDIÁRIO: Note que o lado esquerdo de todas equações é positivo (todo quadrado é positivo), assim,

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