Problemas da Semana

INICIANTE: Dado que , prove que . INTERMEDIÁRIO: Encontre todas as quádruplas de soluções reais tais que: AVANÇADO: Ache todas as funcões tais que: para todo

Acesse ->

INICIANTE: Sejam naturais tais que divide . Prove que . INTERMEDIÁRIO: Prove que existem infinitos inteiros positivos tais que é um inteiro. AVANÇADO: Sejam reais positivos. Prove que: .  

Acesse ->

INICIANTE: É claro que . Por absurdo, suponha que . Note que e portanto Por outro lado, , absurdo. Assim, . INTERMEDIÁRIO: Seja um primo e diferente de . Temos

Acesse ->

INICIANTE Temos , portanto pois . Logo a solução é . INTERMEDIÁRIO Temos que . Pois é invertível módulo . Como então para todo inteiro positivo. Logo basta tomar .

Acesse ->

INICIANTE  Ache todas as soluções inteiras positivas de . INTERMEDIÁRIO Prove que existem infinitos números de forma que são múltiplos de . AVANÇADO Encontre um número inteiro positivo tal que

Acesse ->

INICIANTE: Seja P o primeiro pino que voltou para a sua posição inicial. Um movimento antes dele voltar para sua casa, cada um dos outros pinos deve ter feito um

Acesse ->

INICIANTE Alguns pinos estão em um tabuleiro de xadrez. A cada segundo, um dos pinos move para uma casa vizinha (lado em comum). Após muito tempo verificou-se que cada pino

Acesse ->

BÁSICO Já que , pelo teorema de Euler-Fermat temos que ; por outro lado, é a ordem de módulo já que e se temos e assim não divide . Como

Acesse ->

INICIANTE: Prove que existem infinitos números primos. INTERMEDIÁRIO: Prove que existem números consecutivos que não são potências de primos para todo . AVANÇADO: Prove que existem infinitos números primos da

Acesse ->

INICIANTE: Vejamos que e e como e como e como . Portanto temos já que pelo Teorema de Fermat . c.q.d. INTERMEDIÁRIO: Uma equaçãodo segundo grau tem soluções reais se

Acesse ->