Problemas da Semana
Matemática
obs.: Os problemas antigos de Matematica tem ordem diferente! As semanas reiniciaram e agora voltaram ao normal
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Básico Prove que o número é múltiplo de . Intermediário Dados reais prove que ao menos uma das três equações possui solução real. Avançado Uma sequência de números reais satisfaz,
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Iniciante . Chame então temos onde claramente é inteiro se variarmos , logo para todo vale que é inteiro e positivo, logo basta achar o número de . Vejamos que
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Iniciante Quantas soluções inteiras e positivas ( e ) possui a equação ? Intermediário Mostre que o número é divisível por . Avançado Sejam reais positivos com . Prove que:
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Iniciante mas é par para logo , isto quer dizer que é par e não múltiplo de , como queríamos demonstrar. Intermediário Pela identidade de Vandermonde temos: Mas veja que
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Iniciante Prove que é divisível por e não por para todo inteiro positivo. Intermediário Prove que para qualquer primo . Avançado Ache todas as funções que satisfazem
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Iniciante Observe que: (como ) O que é verdade, pois . Intermediário Considere as expressões abaixo: Temos que e por : Logo . Avançado Veja a soma de todos os
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Iniciante Seja um inteiro. Prove que: se Intermediário Prove que para todos os reais não-negativos vale que Avançado Considere pontos no plano, quaisquer deles não colineares. Pintamos deles de vermelho
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Iniciante Como , pelo pequeno teorema de Fermat: deixa resto na divisão por . Intemediário Aplicação direta do Teorema de Turán: Avançado A prova consistirá no princípio de dualidade da
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Iniciante: Encontre o resto de por . Intermediário: Seja um grafo G com pelo menos arestas, prove que ele possui um -clique (um grafo completo de vértices). Avançado: Dados um
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Iniciante Seja e chame e de forma que . Logo: e consequentemente, e e não há outra opção além de e : . Itermediário: Sim. Tomando , temos . Avançado: