Autor: Rogério Júnior
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Soluções Matemática – Semana 23
Iniciante $$3^{2^n}+1 \equiv (-1)^{2^n}+1 (\mod 4)$$ mas $$2^n$$ é par para $$n>0$$ logo $$(-1)^{2k}+1 \equiv 1^k+1 \equiv 1+1 \equiv 2 (\mod 4)$$, isto quer dizer que $$3^{2^n}+1$$ é par e não múltiplo de $$4$$, como queríamos demonstrar. Intermediário Pela identidade de Vandermonde temos: $${2p \choose p} = {p \choose p} {p \choose 0} + {p…
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Soluções Química – Semana 23
Iniciante A espontaneidade de um processo pode ser avaliada por $$\Delta G = \Delta H – T \Delta S$$ Onde $$\Delta G$$ é necessariamente negativo para um processo espontâneo. Assim, tratando-se de um processo endotérmico e espontâneo, deve ser satisfeita a condição $$\Delta S > 0$$ para que$$\Delta G < 0$$. Intermediário A alternativa correta…
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Cálculo – Semana 22
Iniciante Calcule $$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$$ Intermediário Integre $$\displaystyle \int x sin(x)dx$$ Avançado Calcule: Seja f a funcção definida por $$f(x)=\frac{ln(x)}{x}$$ para todo $$x > 0$$. A derivada de f é dada por $$f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2}$$. Ache as coordenadas para o ponto crítico de f. Determine se esse ponto é de máximo relativo ou global, mínimo…
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Soluções Cálculo – Semana 21
Iniciante a)À medida que o denominador da função cresce (tende ao infinito pela direita e esquerda), o limite de $$1/10x$$ quando x tende ao infinito é zero! b)É bem visível a simplificação do $$x^2$$ no limite, que fica: $$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{52}{26}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} 2=2$$ Intermediário Neste caso, dá para se utilizar a…
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Divulgados os Representantes do Brasil na Cone Sul
Os alunos que representarão o Brasil na XXVII Olimpíada de Matemática do Cone Sul tiveram seus nomes recentemente divulgados pela OBM. O Processo Seletivo conta primordialmente com três critérios principais: Resultado na OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática) Provas de Seleção (Três testes aplicados nos dias 20/02, 12/03 e 02/04) Listas de Treinamento (Quatro listas de…
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Matemática – Semana 23
Iniciante Prove que $$3^{2^n}+1$$ é divisível por $$2$$ e não por $$4$$ para todo $$n$$ inteiro positivo. Intermediário Prove que $${2p \choose p} \equiv 2 (mod p^2)$$ para qualquer primo $$p$$. Avançado Ache todas as funções $$f : \mathbb{R} – {0,1} \rightarrow \mathbb{R}$$ que satisfazem $$f(x) + f \left( \dfrac{1}{1-x} \right) = x$$
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Soluções Matemática – Semana 22
Iniciante Observe que: $$(k+1)(n-k)>n \Leftrightarrow nk-k^2+n-k>n \Leftrightarrow nk-k^2-k>0$$ (como $$k>0$$) $$\Leftrightarrow n-k-1>0 \Leftrightarrow n>k+1$$ O que é verdade, pois $$k=1, 2, 3, …, n-2$$. Intermediário Considere as expressões abaixo: $$S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$$ $$M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}$$ $$N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}$$ Temos que $$M+N=3$$ e por $$MA\ge$$$$MG$$: $$S+M=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+c}+\dfrac{c+a}{a+b} \ge 3$$ $$S+N=\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+a}{a+c}+\dfrac{c+b}{a+b} \ge 3$$ Logo $$M+N+2S \ge 6 \Rightarrow 2S \ge 3 \Rightarrow S \ge…
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Avançado Informática – Semana 23
Cartões Dois jogadores, Alberto e Wanderley, disputam um jogo. Um conjunto com um número par de cartões contendo números inteiros é disposto sobre uma mesa, um ao lado do outro, formando uma sequência. Alberto começa, e pode pegar um dos dois cartões das pontas. Wanderley então pode pegar um dos dois cartões das pontas…
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Cálculo – Semana 21
Iniciante Resolva os limites a seguir: a) $$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{10x}$$ b) $$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{52x^2}{26x^2}$$ Intermediário Calcule $$\displaystyle \int e^{42x}dx$$ Utilize, se necessário, integração por partes ou integração por substituição. Avançado Calcule: Animal Wars: Episode V – The Bunny Strikes Back A long time ago in a farm far far away… É…
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Soluções Cálculo – Semana 20
Iniciante Aqui, tem-se $$F(x)=\frac{x^3}{3}+4x$$, que é uma primitiva de $$f(x)=x^2+4$$, pois $$F'(x)=3\cdot \frac{x^{3-1}}{3}+4\cdot 1=f(x)$$ Logo, pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), vem $$\displaystyle \int_{1}^{3} (x^2+4)dx=\Big (\frac{x^3}{3}+4x \Big ) \Big \vert_{1}^{3}=F(3)-F(1)=\frac{3^3}{3}+4(3)-\Big(\frac{1^3}{3}+4(1) \Big )=\frac{50}{3}$$ Intermediário Por uma propriedade logarítmica, tem-se: $$\displaystyle \int log(2^{\sqrt{x}}\cdot 3^{x^2})dx=\displaystyle \int (\sqrt{x} log 2+ x^2 log 3)dx=log 2 \displaystyle \int x^{1/2}dx + log…