Autor: Rogério Júnior
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Soluções Matemática – Semana 23
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Iniciante $$3^{2^n}+1 \equiv (-1)^{2^n}+1 (\mod 4)$$ mas $$2^n$$ é par para $$n>0$$ logo $$(-1)^{2k}+1 \equiv 1^k+1 \equiv 1+1 \equiv 2 (\mod 4)$$, isto quer dizer que $$3^{2^n}+1$$ é par e […]
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Soluções Química – Semana 23
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Iniciante A espontaneidade de um processo pode ser avaliada por $$\Delta G = \Delta H – T \Delta S$$ Onde $$\Delta G$$ é necessariamente negativo para um processo espontâneo. Assim, […]
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Cálculo – Semana 22
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Iniciante Calcule $$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$$ Intermediário Integre $$\displaystyle \int x sin(x)dx$$ Avançado Calcule: Seja f a funcção definida por $$f(x)=\frac{ln(x)}{x}$$ para todo $$x > 0$$. A derivada de […]
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Soluções Cálculo – Semana 21
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Iniciante a)À medida que o denominador da função cresce (tende ao infinito pela direita e esquerda), o limite de $$1/10x$$ quando x tende ao infinito é zero! b)É bem visível […]
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Divulgados os Representantes do Brasil na Cone Sul
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Os alunos que representarão o Brasil na XXVII Olimpíada de Matemática do Cone Sul tiveram seus nomes recentemente divulgados pela OBM. O Processo Seletivo conta primordialmente com três critérios principais: […]
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Matemática – Semana 23
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Iniciante Prove que $$3^{2^n}+1$$ é divisível por $$2$$ e não por $$4$$ para todo $$n$$ inteiro positivo. Intermediário Prove que $${2p \choose p} \equiv 2 (mod p^2)$$ para qualquer primo […]
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Soluções Matemática – Semana 22
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Iniciante Observe que: $$(k+1)(n-k)>n \Leftrightarrow nk-k^2+n-k>n \Leftrightarrow nk-k^2-k>0$$ (como $$k>0$$) $$\Leftrightarrow n-k-1>0 \Leftrightarrow n>k+1$$ O que é verdade, pois $$k=1, 2, 3, …, n-2$$. Intermediário Considere as expressões abaixo: $$S=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$$ […]
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Avançado Informática – Semana 23
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Cartões Dois jogadores, Alberto e Wanderley, disputam um jogo. Um conjunto com um número par de cartões contendo números inteiros é disposto sobre uma mesa, um ao lado do […]
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Cálculo – Semana 21
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Iniciante Resolva os limites a seguir: a) $$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{10x}$$ b) $$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{52x^2}{26x^2}$$ Intermediário Calcule $$\displaystyle \int e^{42x}dx$$ Utilize, se necessário, integração por partes ou […]
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Soluções Cálculo – Semana 20
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Iniciante Aqui, tem-se $$F(x)=\frac{x^3}{3}+4x$$, que é uma primitiva de $$f(x)=x^2+4$$, pois $$F'(x)=3\cdot \frac{x^{3-1}}{3}+4\cdot 1=f(x)$$ Logo, pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), vem $$\displaystyle \int_{1}^{3} (x^2+4)dx=\Big (\frac{x^3}{3}+4x \Big ) \Big \vert_{1}^{3}=F(3)-F(1)=\frac{3^3}{3}+4(3)-\Big(\frac{1^3}{3}+4(1) […]