Escrito por João G. Pepato
Problema 01*
Ao cobrar uma falta em um jogo de futebol, um jogador imprime à bola uma velocidade de 43,2kmh. Sabendo que a bola gasta 3s até atingir as redes, determine a distância percorrida.
Solução
Como esse movimento é um MRU, usaremos a função horária do espaço do MRU: Δs=v0t
Antes de fazer as contas, é importante nos atentarmos que a velocidade está em Kmh e convertê-la para ms:
42,6Kmh=42,63,6ms=12ms
Substituindo os valores de v0 e de t na função horária do espaço do MRU, temos que ΔS=12∗3=36m
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Problema 02*
Um motociclista entra em um túnel a 26ms. A partir desse instante, ele desacelera uniformemente a 2ms2, chegando ao fim do túnel com velocidade de 10ms. Quanto tempo o motociclista levou para atravessar o túnel?
Solução
Para resolver esse exercício, usaremos a função horária da velocidade para o MRUV: Δv=at
A velocidade inicial (vi) é 26ms, e a velocidade final (vf) é 10ms. Assim, variação de velocidade é Δv=vf−vi=16ms.
Substituindo os valores da varição de velocidade e da aceleração na funçaõ horária da velocidade para o MRUV, temos que 16=2t, o que implica t=8s.
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Problema 03*
A posição de um móvel, em movimento uniforme, varia com o tempo conforme a tabela a seguir.

Qual é a equação horária desse movimento?
Solução
O móvel está em movimento uniforme, então a função horária do movimento é dada por:
s=s0+vt
s0 é a posição do móvel quando t=0. Na tabela, vemos que s0=25m.
Como a velocidade é constante, podemos escolher dois instantes quaisquer para calculá-la. Escolhendo os instantes t=1 e t=2 temos:
v=ΔsΔt=17−212−1=−4ms
Assim, a função horária do movimento é:
s=25−4t
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Problema 04*
Um móvel parte do repouso e desenvolve uma aceleração constante de 3ms2 durante 4 segundos. Qual foi o deslocamento desse móvel?
Solução
A função horária do MRUV é Δs=v0t+at22.
Como o móvel parte do repouso, a velocidade inicial é v0=0.
Segundo o enunciado, a=3ms2 e t=4, então
Δs=0∗4+3∗422=24m
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Problema 05*
Um ônibus que tem um comprimento de 10m e uma velocidade de 11ms passa por um túnel de 100m de comprimento. Quanto tempo o ônibus leva para atravessar o túnel?
Solução
Nesse exercício, o corpo estudado é um corpo extenso: temos que levar em considerção o seu comprimento.
O momento em que o ônibus adentra o túnel é quando a sua dianteira entra no túnel.
O momento em que o ônibus sai do túnel é quando a sua traseira sai do túnel - nesse momento, a dianteira do ônibus já está a 10m (comprimento do ônibus) da saída do túnel, então o Δs é o comprimento do túnel + comprimento do ônibus, que é igual a 100+10=110.

Agora, basta usarmos a função horária do espaço para o MRU:
Δs=vt→110=11t→t=10s
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Problema 06*
a) O gráfico a seguir representa a posição de uma partícula em função do tempo. Calcule a velocidade da partícula em cada trecho do movimento (1,2,3) e a velocidade média do trajeto como um todo.

Solução
A velocidade em um instante t é a numericamente igual à inclinação da função nesse instante.
No trecho 1 (0<t<8), a inclinação da reta é tg(θ)=14−28−0=1,5. Assim, a velocidade é 1,5ms
No trecho 2 (8<t<24), a inclinação da reta é tg(θ)=10−1424−8=−0,25. Assim, a velocidade é −0,25ms
No trecho 3 (24<t<32), a inclinação da reta é tg(θ)=18−1032−24=1. Assim, a velocidade é 1ms
A distância total percorrida pela partícula foi sf−si=18−2=16m, e o tempo decorrido foi tf−ti=32−0=32s. Assim, a velocidade média é ΔsΔt=1632=12
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Gabarito
v1=1,5ms, v2=−0,25ms, v3=1ms, vm=0,5ms
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Problema 07*
Questão Iniciante Semana 15 - Solução
Um ponto atravessou metade da distância com velocidade v0. O restante foi coberto com velocidade v1 pela metade do tempo, e com velocidade v2 pela outra metade. Ache a velocidade média do ponto.
Solução
Solução por João Guilherme Araújo
Temos que se o espaço total é s:
s2=v0⋅t0 e s2=v1t1+v2t2=t1(v1+v2)
Assim, como vm=Δst, temos:
vm=st0+2t1=ss2v0+sv1+v2
vm=2v0(v1+v2)2v0+v1+v2
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Gabarito
vm=2v0(v1+v2)2v0+v1+v2
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Problema 08*
Questão Iniciante Semana 3 - Solução
Calcule a condição para que um corpo se movendo com velocidade constante v, que começou a se mover Δt após um corpo acelerado de aceleração a, do mesmo espaço inicial, ainda alcance esse corpo.
Solução
Solução por João Guilherme Araújo
Podemos ver que se o segundo corpo não alcançar o primeiro antes da velocidade do primeiro se tornar igual a sua a distância entre tornará a aumentar e o feito será impossível. Assim podemos olhar para o caso limite, onde eles se encontram no momento que as velocidades se igualam. Portanto:
t=va
onde
t é o tempo de encontro.
No encontro podemos igualar os espaços, assim:
v(t−Δt)=at22⇒vΔt=vt−at22=v2a−v22a=v22a⇒2aΔt=v
Como estamos lidando com um caso limite, vemos que se v for maior que 2aΔt também ocorrerá encontro, portanto a condição que queremos é v≥2aΔt
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Problema 09**
Questão Iniciante Semana 13 - Solução
O trem I desloca-se em linha reta, com velocidade constante de 54 km/h, aproximando-se do ponto B, como mostra a figura. Determine quanto tempo após a locomotiva do trem I atingir o ponto A, deve o trem II partir do repouso em C, com aceleração constante de 0,2 m/s2 de forma que, 10 segundos após terminar a sua passagem pelo ponto B, o trem inicie pelo mesmo ponto.
NOTAS:
1) Ambos os trens medem 100 metros de comprimento, incluindo suas locomotivas, que viajam à frente.
2) As distâncias ao ponto B são: AB = 3.000 m CB = 710 m

Solução
Solução por João Guilherme Araújo
Inicialmente, calculemos quanto tempo gastará o trem II para II para ultrapassar totalmente o ponto B:
Toricelli:
V22=V202+2αΔS2⇒V2=18m
Substituindo os valores dados na questão:
V22=02+2⋅0,2⋅810=324s
Disso podemos achar o tempo através da equação horária do MUV:
V2=V02+αt⇒18=0.2t⇒t=18/0,2=90s
Calculamos agora quanto o trem I demorará para iniciar a passagem pelo ponto B
dados
Função horária do espaço de I em MU:
S1=S01+V1t1⇒ΔS=V1t1⇒t1=3000/15=200s
Agora sabemos que I demorará 200s para alcançar o ponto B
Mas queremos que o trem I so alcance B após 10s da passagem do trem 2 por B, e como 2 demora 90s para isso, devemos considerar t2=100s.
Assim, t1−t2=200−100=100s.
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Problema 10**
Questão Intermediária Semana 7 - Solução
O cientista Succa Liaudzionis viaja, todos os dias, à mesma hora, de sua casa ao Núcleo Olímpico de Incentivo à Computação (Noic), onde trabalha. O trajeto é feito da seguinte forma: primeiro ele vai de trem até a casa de seu amigo, Sictor Vales, onde são recolhidos sempre pontualmente por uma limousine que os deixa no Noic. Os trens partem de hora em hora da estação e demoram sempre o mesmo tempo na primeira parte do trajeto.
Um dia, Succa levantou-se mais cedo e apanhou o trem uma hora antes do costume. Quando chegou à casa de Sictor, obviamente a limousine ainda não chegara; então os dois decidem fazer um pouco de exercício e começam a caminhar em direção ao Noic. Em determinado momento, encontram-se com a limousine, que para imediatamente e os levam ao trabalho.
Supondo que os dois caminhem a mesma velocidade constante, e que a limousine viaja numa velocidade também constante que é 11 vezes maior que a velocidade de caminhada deles, calcule quanto tempo, antes do habitual, os cientistas chegam para trabalhar.
Solução
Solução por Victor Sales
i) Para nossa análise, podemos dizer que o carro da empresa sai de um ponto G ao mesmo tempo que o cientista pega o trem. Ou seja, se o trem leva um tempo Δt1 para ir deixar o Succa na casa de Sictor, a distância da casa deste até o ponto G será VcΔt1, como na figura, onde Vc é a velocidade da limousine.

Na figura, VT é a velocidade média do trem.
ii) Chame de T=Δt1+Δt2 o tempo que Succa leva para fazer toda a sua viagem, em um dia normal, e T′ o tempo no dia em que levantou mais cedo.
iii) Denotemos com uma linha os tempos relativos ao dia em que levantou mais cedo. Temos então: Δt1′=Δt1−Δt0, onde Δt0 é quanto tempo ele pegou o trem mais cedo.
iv) Sendo Sc o espaço percorrido pelo carro desde G, e xc a posição do carro, considerando a casa de Sictor como o ponto onde x=0, temos:
⇒xc1=Vc(Δt1−Δt1′)⇒xc1=VcΔt0
v)Sendo V a velocidade de caminhada dos cientistas, temos que o tempo para se encontrarem com a limousine, Δt2′ é dado por (lembrando que se encontram na posição 0):
(Vc+V)Δt2′=xc1⇒Δt2′=VcVc+VΔt0
vi)Ao se encontrarem, a posição do carro será:
xc2=xc1−VcΔt2′=Vc(Δt0−Δt2′)
vii)O Tempo para chegar ao Noic, Δt3′, é dado por:
VcΔt3′=xNoic−xc2⇒Δt3′=Δt2−VVc+VΔt0
Viii) T′=Δt1′+Δt2′+Δt3′
⇒T′=Δt1−Δt0+VcVc+VΔt0+Δt2−VVc+VΔt0
⇒T′=T−(1−Vc−VVc+V)Δt0⇒T−T′=2VVc+VΔt0
Substituindo η=11 e Δt0=1h, temos:
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Problema 11***
Questão Intermediária Semana 11 - Solução
Um plano horizontal suporta um cilindro vertical estacionário de raio R e um disco A preso ao cilindro por uma corda horizontal AB de comprimento l0, como na figura. Uma velocidade inicial v0 é dada ao disco como mostrado. Por quanto tempo o disco vai se mover ao longo do plano até que atinja o cilindro? Assuma que não há atrito.

Solução
Solução por Victor Sales
i) A única força que age no disco é a tração da corda e ela é sempre perpendicular à velocidade do disco, ou seja, não realiza trabalho, fazendo com que a velocidade do disco seja sempre constante e igual a v0
ii) Suponha que, em um tempo t, a corda esteja enrolada de um ângulo θ e um comprimento x=Rθ.
iii) Considere agora um tempo t+dt, neste tempo, a corda se moveu uma distância v0dt. Analizando a figura, vemos que a mesma distância percorrida é dada por (l0−x)dθ. Igualando as duas, temos:
Problema 12***
Duas rampas estão localizadas no mesmo plano vertical e formam ângulos α em relação à horizontal (veja a figura). Em algum momento, duas bolinhas são soltas dos pontos A e B, e começam a deslizar. A bolinha A levou um tempo t1 para atingir o solo, enquanto a bolinha B levou t2. Em que momento a distância entre as bolinhas foi a menor?

Solução

A distância l pode ser calculada com base no tempo em que cada bolinha leva para atingir o chão:
A função horária do espaço para o MRUV é dada por Δs=v0+at22. Como v0=0, a aceleração da bolinha A é gsin(α), e o tempo que a bolinha A leva para atingir o chão é t1, a distância que a bolinha um percorre até atingir o chão é l1=gsin(α)t212. Da mesma forma, a distância que a bolinha B percorre até atingir o chão é l2=gsin(α)t222. Assim, a distância l é l=l1−l2=gsin(α)(t21−t22)2, e a distância horizontal entre as bolinhas é x=gsin(α)(t21−t22)2cos(α).
A seguir, está representada a aceleração de cada bolinha no referencial do laboratório:

Contudo, o exercíco fica muito simples se mudarmos para o referencial da bolinha A uma vez que, nesse referencial a bolinha B se move horizontalmente para a esquerda com aceleração constante igual a 2gsin(α)cos(α).
Nesse referencial, a trajetória de B é um segmento de reta horizontal. Dessa forma, a distância entre as bolinhas será menor quando o segmento de reta que liga elas for perpendicular à trajetória de B (quando A estiver exatamente acima de B). Isso acontece quando B percorre uma distância x. O instante de tempo em que isso ocorre pode ser calculardo usando a funçãp horária do espaço para o MRUV: Δs=v0+at22, onde v0=0, Δs=x=gsin(α)(t21−t22)2cos(α), e a=2gsin(α)cos(α), então:
gsin(α)(t21−t22)2cos(α)=2gsin(α)cos(α)t22→t=√t21−t222
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Problema 13**
Um cachorro está perseguindo uma raposa que está correndo com velocidade constante v1 ao longo de uma linha reta. O módulo da velocidade do cachorro é constante e igual a v2, mas o vetor →v2 está sempre direcionado para a raposa. A distância entre os animais era d no momento em que seus vetores de velocidade eram perpendiculares. Qual era a aceleração do cachorro nesse momento?
Solução
O módulo da velocidade do cachorro não muda, então a aceleração se dá exclusivamente pela alteração de sentido da velocidade.

Para resolver esse exercício, trabalharemos com intervalos de tempo infinitesimais (extremamente pequenos).
Em um intervalo de tempo Δt, a raposa se desloca uma distância d1=v1Δt. Como estamos considerando um Δt muito pequeno, d1 é muito pequeno, o que implica que ϕ também é muito pequeno. Nesse caso, podemos perceber pelo desenho que ϕd≈d1=v1Δt. Uma rotação em ϕ no vetor velocidade, para um ϕ muito pequeno, corresponde a uma variação de velocidade Δv≈v2ϕ. Assim, temos que:
Δv=≈v2ϕ≈v2v1Δtd→a=ΔvΔt=v1v2d
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Problema 14***
Um carro está se movendo em uma estrada reta com velocidade constante v. Um menino, em pé em um campo adjacente avista o carro e espera pegar uma carona nele. Qual é a velocidade mínima umin com a qual o menino deve correr para alcançar o carro? Resolva o problema de forma geral: denotando a velocidade do carro por v, a velocidade máxima do menino por u, e considerando as posições iniciais do carrinho e do menino conforme mostrado na figura.

Solução
Antes de mais nada, mudaremos para o referencial do carro - o que equivale a somar um vetor −→v à velocidade de todos os corpos.
O carro e o menino chegarão simultaneamente em um ponto da rua se, nesse referencial, o menino corre diretamente em direção ao carro. Assim, a velocidade total do menino nesse referencial (→u−→v) deve ser paralela ao segmento de reta que liga o menino ao carro (representado na figura). Essa condição pode ser cumprida com vários vetores →u (como por exemplo pelos vetores →u1 e →u2 representados na figura). Contudo, o módulo do vetor →u só é mínimo (umin) quando →u é perpendicular ao segmento que liga o carro ao menino. Denotaremos o ângulo entre a rua e o segmento de reta que liga o carro até o menino por θ. Por geometria, vemos que, na condição do módulo de →u ser mínimo, este deve forma um ângulo 90−θ com →v. Do triângulo retângulo formado pelos vetores →v, →umin e →umin−v, temos que umin=vsin(θ).
Resta-nos agora calcular o valor de θ.
Da figura, vemos que tan(θ)=ba. Assim, θ=arctan(ba).
Então:
umin=v(ba)21+(ba)2
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Gabarito
umin=v(ba)2√1+(ba)2
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Problema 15***
Um menino está correndo para o norte, com uma velocidade de v=5ms sobre a superfície lisa de um grande lago congelado. O coeficiente de atrito (tanto cinético quanto estático) entre a sola de seus tênis e o gelo é μ=0,1. Para simplificar, assuma que a força normal que ele exerce sobre o gelo, que na realidade varia com o tempo, pode ser substituída pelo seu valor médio.
a) Qual é o tempo mínimo que ele precisa para mudar de direção, de forma que ele esteja correndo para o leste com a mesma velocidade v?
b) Qual é a forma da trajetória do menino durante a curva neste caso ótimo (esse item exige um conhecimento básico de movimentos bidimensionais - se preferir, pode deixá-lo para fazer após estudar o tema).
Solução
a)
Para responder essa questão, temos que pensar tanto sobre o módulo quanto o sentido do vetor →a. Para que a mudança de velocidade seja feita o mais rápido possível, o módulo da aceleração deve ser o maior possível. O valor máximo da força de atrito é μmg, então o maior módulo possível da aceleração é μg. E sobre seu sentido?
Para isso, vamos desenhar um sistema de coordenadas vx−vy, no qual vx é a componente da velocidade na direção leste e vy é a componente da velocidade na direção norte com a velocidade inicial →v1 e a velocidaed final →v2 representadas.

Queremos passar o vetor velocidade de →v1 para →v2 o mais rápido possível. A aceleração não é nada mais nada menos que a velocidade da ponta do vetor →v(t), então, se quisermos que a mudança de velocidade ótima, devemos escolher a menor distância no plano vx−vy, que é o segmento de reta que liga a ponta do vetor →v1 à ponta do vetor →v2: a aceleração é constante em módulo e sentido. Seu módulo é μg é ela aponta para o sudeste.
Agora, basta usarmos função horária da velocidade:
Δv=at
O módulo do Δv é a distância entre a ponta do vetor v1 e a ponta do vetor v2, que é v√2. Assim:
t=v√2μg
b)
Quando um corpo é lançado obliquamente sob a ação de um campo gravitacional constante, sua trajetória é uma parábola. Essa situação é análoga ao que acontece com o menino no caso ótimo uma vez que, nessas condições, a aceleração que ele sofre é constate em módulo e sentido. Assim, a trajetória que o menino executa é uma parábola com concavidade apontando para o sudeste.
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Gabarito
t=v√2μg, Parábola com concavidade apontando para o sudeste.
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