Problemas Aula 1.1 - Movimento Retilíneo

Como esse movimento é um MRU, usaremos a função horária do espaço do MRU: $\Delta s=v_0t$

Antes de fazer as contas, é importante nos atentarmos que a velocidade está em $\frac{Km}{h}$ e convertê-la para $\frac{m}{s}$:

$42,6\frac{Km}{h}=\frac{42,6}{3,6}\frac{m}{s}=12\frac{m}{s}$

Substituindo os valores de $v_0$ e de $t$ na função horária do espaço do MRU, temos que $\Delta S=12*3=36m$

$\Delta S=36m$

Para resolver esse exercício, usaremos a função horária da velocidade para o MRUV: $\Delta v=at$

A velocidade inicial ($v_i$) é $26\frac{m}{s}$, e a velocidade final ($v_f$) é $10\frac{m}{s}$. Assim, variação de velocidade é $\Delta v=v_f-v_i=16\frac{m}{s}$.

Substituindo os valores da varição de velocidade e da aceleração na funçaõ horária da velocidade para o MRUV, temos que $16=2t$, o que implica $t=8s$.

$t=8s$

O móvel está em movimento uniforme, então a função horária do movimento é dada por:

$s=s_0+vt$

$s_0$ é a posição do móvel quando $t=0$. Na tabela, vemos que $s_0=25m$.

Como a velocidade é constante, podemos escolher dois instantes quaisquer para calculá-la. Escolhendo os instantes $t=1$ e $t=2$ temos:

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{17-21}{2-1}=-4\frac{m}{s}$

Assim, a função horária do movimento é:

$s=25-4t$

$s=25-4t$

A função horária do MRUV é $\Delta s=v_0t+\frac{at^2}{2}$.

Como o móvel parte do repouso, a velocidade inicial é $v_0=0$.

Segundo o enunciado, $a=3\frac{m}{s^2}$ e $t=4$, então

$\Delta s=0*4+\frac{3*4^2}{2}=24m$

$\Delta s=24m$

Nesse exercício, o corpo estudado é um corpo extenso: temos que levar em considerção o seu comprimento.

O momento em que o ônibus adentra o túnel é quando a sua dianteira entra no túnel.

O momento em que o ônibus sai do túnel é quando a sua traseira sai do túnel - nesse momento, a dianteira do ônibus já está a $10m$ (comprimento do ônibus) da saída do túnel, então o $\Delta s$ é o comprimento do túnel + comprimento do ônibus, que é igual a $100+10=110$.

Agora, basta usarmos a função horária do espaço para o MRU:

$\Delta s=vt\rightarrow 110=11t \rightarrow t=10s$

$t=10 s$

A velocidade em um instante $t$ é a numericamente igual à inclinação da função nesse instante.

No trecho 1 $(0<t<8)$, a inclinação da reta é $tg(\theta)=\frac{14-2}{8-0}=1,5$. Assim, a velocidade é $1,5\frac{m}{s}$

No trecho 2 $(8<t<24)$, a inclinação da reta é $tg(\theta)=\frac{10-14}{24-8}=-0,25$. Assim, a velocidade é $-0,25\frac{m}{s}$

No trecho 3 $(24<t<32)$, a inclinação da reta é $tg(\theta)=\frac{18-10}{32-24}=1$. Assim, a velocidade é $1\frac{m}{s}$

A distância total percorrida pela partícula foi $s_f-s_i=18-2=16m$, e o tempo decorrido foi $t_f-t_i=32-0=32s$. Assim, a velocidade média é $\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$

$v_1=1,5\frac{m}{s}$, $v_2=-0,25\frac{m}{s}$, $v_3=1\frac{m}{s}$, $v_m=0,5\frac{m}{s}$

Solução por João Guilherme Araújo

Temos que se o espaço total é $s$:

$$\frac{s}{2} = v_0 \cdot t_0 \text{ e } \frac{s}{2} = v_1t_1 + v_2t_2 = t_1(v_1 + v_2)$$

Assim, como $v_m = \frac{\Delta s}{t}$, temos:

$$v_m = \frac{s}{t_0 + 2t_1} = \frac{s}{\frac{s}{2v_0} + \frac{s}{v_1 + v_2}}$$

$$v_m = \frac{2v_0(v_1 + v_2)}{2v_0 + v_1 + v_2}$$

$$v_m = \frac{2v_0(v_1 + v_2)}{2v_0 + v_1 + v_2}$$

Solução por João Guilherme Araújo

Podemos ver que se o segundo corpo não alcançar o primeiro antes da velocidade do primeiro se tornar igual a sua a distância entre tornará a aumentar e o feito será impossível. Assim podemos olhar para o caso limite, onde eles se encontram no momento que as velocidades se igualam. Portanto:

$$t = \frac{v}{a}$$

No encontro podemos igualar os espaços, assim:

$$v(t - \Delta t) = \frac{at^2}{2} \Rightarrow v\Delta t = vt - \frac{at^2}{2} =\frac{v^2}{a} -\frac{v^2}{2a} = \frac{v^2}{2a}\Rightarrow 2a\Delta t = v$$

Como estamos lidando com um caso limite, vemos que se v for maior que $2a\Delta t$ também ocorrerá encontro, portanto a condição que queremos é $v \geq 2a\Delta t$

$v \geq 2a\Delta t$

Solução por João Guilherme Araújo

Inicialmente, calculemos quanto tempo gastará o trem II para II para ultrapassar totalmente o ponto B: 
Toricelli:

$V_2 ^2 = V_{02}^ 2 + 2\alpha\Delta S_2 \Rightarrow V_2 = 18 m$

Substituindo os valores dados na questão:

$V_2^2 = 0^2 + 2 \cdot 0,2 \cdot 810 = 324 s$

Disso podemos achar o tempo através da equação horária do MUV:

$V_2 = V{02} + \alpha t \Rightarrow 18 = 0.2 t \Rightarrow t = 18/0,2 = 90s$

Calculamos agora quanto o trem I demorará para iniciar a passagem pelo ponto B 
dados 
Função horária do espaço de I em MU:

$S_1 = S_{01} + V_1t_1 \Rightarrow \Delta S = V_{1}t_{1} \Rightarrow t_1 = 3000/15 = 200s$

Agora sabemos que I demorará 200s para alcançar o ponto B 
Mas queremos que o trem I so alcance B após 10s da passagem do trem 2 por B, e como 2 demora 90s para isso, devemos considerar $t_2 = 100s.$ 
Assim, $t_1 - t_2 = 200 - 100 = 100s$.

$100s$

Solução por Victor Sales

$i)$ Para nossa análise, podemos dizer que o carro da empresa sai de um ponto G ao mesmo tempo que o cientista pega o trem. Ou seja, se o trem leva um tempo ${\Delta t}_1$ para ir deixar o Succa na casa de Sictor, a distância da casa deste até o ponto G será $V_c {\Delta t}_1$, como na figura, onde $V_c$ é a velocidade da limousine.

$$\Delta T = 10 min$$

A distância $l$ pode ser calculada com base no tempo em que cada bolinha leva para atingir o chão:

A função horária do espaço para o MRUV é dada por $\Delta s=v_0+\frac{at^2}{2}$. Como $v_0=0$, a aceleração da bolinha A é $g\sin(\alpha)$, e o tempo que a bolinha A leva para atingir o chão é $t_1$, a distância que a bolinha um percorre até atingir o chão é $l_1=\frac{g\sin(\alpha)t_1^2}{2}$. Da mesma forma, a distância que a bolinha B percorre até atingir o chão é $l_2=\frac{g\sin(\alpha)t_2^2}{2}$. Assim, a distância $l$ é $l=l_1-l_2=\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}$, e a distância horizontal entre as bolinhas é $x=\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}\cos(\alpha)$.

A seguir, está representada a aceleração de cada bolinha no referencial do laboratório:

Contudo, o exercíco fica muito simples se mudarmos para o referencial da bolinha A uma vez que, nesse referencial a bolinha B se move horizontalmente para a esquerda com aceleração constante igual a $2g\sin(\alpha)cos(\alpha)$.

Nesse referencial, a trajetória de B é um segmento de reta horizontal. Dessa forma, a distância entre as bolinhas será menor quando o segmento de reta que liga elas for perpendicular à trajetória de B (quando A estiver exatamente acima de B). Isso acontece quando B percorre uma distância $x$. O instante de tempo em que isso ocorre pode ser calculardo usando a funçãp horária do espaço para o MRUV: $\Delta s=v_0+\frac{at^2}{2}$, onde $v_0=0$, $\Delta s=x=\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}\cos(\alpha)$, e $a=2g\sin(\alpha)cos(\alpha)$, então:

$\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}\cos(\alpha)=\frac{2g\sin(\alpha)cos(\alpha)t^2}{2}\rightarrow t=\frac{\sqrt{t_1^2-t_2^2}}{2}$

$t=\frac{\sqrt{t_1^2-t_2^2}}{2}$

O módulo da velocidade do cachorro não muda, então a aceleração se dá exclusivamente pela alteração de sentido da velocidade.

Para resolver esse exercício, trabalharemos com intervalos de tempo infinitesimais (extremamente pequenos).

Em um intervalo de tempo $\Delta t$, a raposa se desloca uma distância $d_1=v_1\Delta t$. Como estamos considerando um $\Delta t$ muito pequeno, $d_1$ é muito pequeno, o que implica que $\phi$ também é muito pequeno. Nesse caso, podemos perceber pelo desenho que $\phi d \approx d_1 =v_1\Delta t$. Uma rotação em $\phi$ no vetor velocidade, para um $\phi$ muito pequeno, corresponde a uma variação de velocidade $\Delta v \approx v_2\phi$. Assim, temos que:

$\Delta v=\approx v_2\phi\approx v_2\frac{v_1\Delta t}{d}\rightarrow a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_1v_2}{d}$

$a=\frac{v_1v_2}{d}$

Antes de mais nada, mudaremos para o referencial do carro - o que equivale a somar um vetor $-\vec{v}$ à velocidade de todos os corpos.
O carro e o menino chegarão simultaneamente em um ponto da rua se, nesse referencial, o menino corre diretamente em direção ao carro. Assim, a velocidade total do menino nesse referencial ($\vec{u}-\vec{v}$) deve ser paralela ao segmento de reta que liga o menino ao carro (representado na figura). Essa condição pode ser cumprida com vários vetores $\vec{u}$ (como por exemplo  pelos vetores $\vec{u_1}$ e $\vec{u_2}$ representados na figura). Contudo, o módulo do vetor $\vec{u}$ só é mínimo ($u_{min}$) quando $\vec{u}$  é perpendicular ao segmento que liga o carro ao menino.  Denotaremos o ângulo entre a rua e o segmento de reta que liga o carro até o menino por $\theta$. Por geometria, vemos que, na condição do módulo de $\vec{u}$ ser mínimo, este deve forma um ângulo $90-\theta$ com $\vec{v}$. Do triângulo retângulo formado pelos vetores $\vec{v}$, $\vec{u_{min}}$ e $\vec{u_{min}-v}$, temos que $u_{min}=v\sin(\theta)$.

Resta-nos agora calcular o valor de $\theta$.

Da figura, vemos que $\tan(\theta)=\frac{b}{a}$. Assim, $\theta=\arctan(\frac{b}{a})$.

Então:

$u_{min}=v\frac{(\frac{b}{a})^2}{1+(\frac{b}{a})^2}$

$u_{min}=v\frac{(\frac{b}{a})^2}{\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}}$

a)

Para responder essa questão, temos que pensar tanto sobre o módulo quanto o sentido do vetor $\vec{a}$. Para que a mudança de velocidade seja feita o mais rápido possível, o módulo da aceleração deve ser o maior possível. O valor máximo da força de atrito é $\mu mg$, então o maior módulo possível da aceleração é $\mu g$. E sobre seu sentido?

Para isso, vamos desenhar um sistema de coordenadas $v_x-v_y$, no qual $v_x$ é a componente da velocidade na direção leste e $v_y$ é a componente da velocidade na direção norte com a velocidade inicial $\vec{v_1}$ e a velocidaed final $\vec{v_2}$ representadas.

Queremos passar o vetor velocidade de $\vec{v_1}$ para $\vec{v_2}$ o mais rápido possível. A aceleração não é nada mais nada menos que a velocidade da ponta do vetor $\vec{v(t)}$, então, se quisermos que a mudança de velocidade ótima, devemos escolher a menor distância no plano $v_x-v_y$, que é o segmento de reta que liga a ponta do vetor $\vec{v_1}$ à ponta do vetor $\vec{v_2}$: a aceleração é constante em módulo e sentido. Seu módulo é $\mu g$ é ela aponta para o sudeste.

Agora, basta usarmos função horária da velocidade:

$\Delta v=at$

O módulo do $\Delta v$ é a distância entre a ponta do vetor $v_1$ e a ponta do vetor $v_2$, que é $v\sqrt{2}$. Assim:

$t=\frac{v\sqrt{2}}{\mu g}$

b)

Quando um corpo é lançado obliquamente sob a ação de um campo gravitacional constante, sua trajetória é uma parábola. Essa situação é análoga ao que acontece com o menino no caso ótimo uma vez que, nessas condições, a aceleração que ele sofre é constate em módulo e sentido. Assim, a trajetória que o menino executa é uma parábola com concavidade apontando para o sudeste.

$t=\frac{v\sqrt{2}}{\mu g}$, Parábola com concavidade apontando para o sudeste.