Aula 1.3 - Lançamentos

Aula de Diogo Netto

Introdução

É fato experimental que (desprezando forças de resistência do ar e afins) todos os corpos  próximos à superfície da Terra caem com a mesma aceleração $g\approx9,8\frac{m}{s^2}$, independentemente de suas massas. Assim, em um ambiente a vácuo, esperamos que uma pena e um objeto muito mais denso executem o mesmo movimento de queda, como mostra a imagem (retirada de pessoal.ect.ufrn.br):

Lançamento Vertical

O caso mais simples de lançamento de um corpo que podemos estudar é o lançamento vertical, no qual o corpo é lançado para cima com uma velocidade $v_0$.

Uma vez que a aceleração é constante, teremos um MRUV e as equações da aula de movimento retilíneo se aplicam. Podemos assim determinar os parâmetros relevantes do movimento.

Altura máxima ($H_{max}$)

É fato que no ponto mais alto de sua trajetória o corpo tem velocidade nula. Por Torricelli, podemos escrever:
$v^2=v_0^2+2a\Delta s \Rightarrow 0=v_0^2-2gH_{max} \Rightarrow H_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$

Observação: O sinal negativo na aceleração se deve ao fato de que a gravidade aponta para baixo, e orientamos o nosso eixo $y$ para cima, conforme a figura.

Tempo total de Voo ($t_{voo}$)

Usando que a velocidade é nula no ponto mais alto é nula, e denotando o tempo em que a partícula atinge seu ápice como $t_{topo}$, ficamos com:

$v=v_0+at \Rightarrow 0=v_0-gt_{topo} \Rightarrow t_{topo}=\frac{v_0}{g}$

Para a segunda parte do movimento, a queda, notamos que o tempo de subida é igual ao de descida, pela simetria do movimento. Logo,

$t_{voo}=t_{topo}+t_{queda}=2t_{topo}=\frac{2v_0}{g}$.

Podemos escrever os respectivos tempos em função de $H_{max}$ também:

$t_{topo}=t_{queda}=\sqrt{\frac{2H_{max}}{g}}$ e $t_{voo}=2\sqrt{\frac{2H_{max}}{g}}$

Observação: Se quiséssemos tratar de uma queda livre, em que um corpo inicialmente em repouso cai de uma altura $H_0$, conforme a figura abaixo, a equação acima permite obter:

$t_{queda}=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$ e $v_{final}=gt_{queda}=\sqrt{2gH_0}$.

De fato, aplicando as equações do MRUV podemos obter os parâmetros que quisermos nesse movimento.

Independência dos movimentos

O fato de existir uma aceleração no eixo $y$ não altera o movimento no eixo $x$, que continua sendo uniforme, como se o movimento em $x$ não enxergasse o que acontece em $y$.

Veja esse vídeo para uma melhor visualização do princípio: www.youtube.com/watch?v=KacTRPL1MtE&pbjreload=10

Lançamento Horizontal

Vamos estudar o caso em que lançamos um corpo de uma altura $H_0$ com uma velocidade horizontal $v_0$, conforme mostra a figura:

O Princípio da Independência que discutimos acima permite escrever as equações para os eixos $x$ e $y$ separadamente:

Para o eixo $x$: $x=v_0t$, ou seja, MRU em $x$

Para o eixo $y$; $y=H_0-\frac{gt^2}{2}$, ou seja, MRUV em $y$

Vamos obter os parâmetros relevantes do movimento.

Tempo de voo ($t_{voo}$)

Basta fazer $y=0$. Logo,

$t_{voo}=\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$

Alcance ($D$)

Uma vez que em $x$ temos um MRU, é fácil perceber que:

$D=v_0 t_{voo}=v_0\sqrt{\frac{2H_0}{g}}$

Velocidade Final ($v_{final}$)

Em $x$ a velocidade é constante e igual a $v_0$. No instante $t=t_{voo}$, teremos:

$v_y=-gt_{voo}=-\sqrt{2gH_0} \Rightarrow v_{final}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+2gH_0}$

Equação da Trajetória ($y(x)$)

Isolando $t$ como função de $x$, obtemos $t=\frac{x}{v_0}$. Substituindo na equação para $y$,

$y=H_0-\frac{gt^2}{2}=H_0-\frac{gx^2}{2v_0^2}$, de modo que a trajetória é parabólica.

Lançamento Oblíquo em uma superfície plana

O último caso possível de lançamento é o oblíquo, em que a partícula é lançada do solo com velocidade $v_0$, de modo que esta forme um ângulo $\theta$ com a horizontal, conforme mostrado na figura abaixo.

O Princípio da Independência dos movimentos nos permite escrever as equações para os dois eixos separadamente.

Para o eixo $x$: $x=v_0\cos\theta t$, ou seja, temos um MRU em $x$.

Para o eixo $y$: $y=v_0\sin\theta t-\frac{gt^2}{2}$, ou seja, temos um MRUV em $y$.

Vamos obter os parâmetros relevantes do movimento.

Altura Máxima ($H_{max}$)

Note que no ponto mais alto da trajetória, a velocidade em $y$ se anula (teremos apenas a componente $v_x=v_0\cos\theta$), logo um Torricelli no eixo y nos dá:

$v_y^2=v_{0y}^2+2a\Delta s \Rightarrow 0=(v_0\sin\theta)^2-2gH_{max} \Rightarrow H_{max}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

Tempo de Voo($t_{voo}$)

Vamos calcular o tempo $t_{topo}$ em que a partícula atinge o ápice. Notando que $v_y=0$ nesse ponto, escrevemos:

$v_y=v_0\sin\theta-gt \Rightarrow t_{topo}=\frac{v_0\sin\theta}{g}$

Pela simetria do movimento, $t_{voo}=2t_{topo}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}$

Alcance ($D$)

É fácil perceber que $D=v_0\cos\theta\cdot t_{voo}=\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}$

Usando a identidade trigonométrica $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$, ficamos com:

$D=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$

Equação da trajetória ($y(x)$)

Isolando $t=\frac{x}{v_0\cos\theta}$ e substituindo na equação de $y$ como função do tempo, obtemos:

$y=\tan\theta\cdot x-\frac{gx^2}{2g\cos^2\theta}$, de modo que a trajetória também é parabólica.

Velocidade Final ($v_{final}$)

Como $v_y=v_0\sin\theta-gt$, em $t=t_{voo}$ temos $v_y=-v_0\sin\theta$, de modo que:

$v_{final}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=v_0\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=v_0$

Exercícios

Questão Iniciante Semana 7 - Solução

Questão Iniciante Semana 12 - Solução

Questão Iniciante Semana 13 - Solução

Questão Iniciante Semana 19 - Solução (em breve)

Questão Iniciante Semana 20 - Solução

Questão Iniciante Semana 25 - Solução

Questão Intermediário Semana 13 - Solução