Problemas da semana

INICIANTE: Matheus tem uma folha de papel em forma de quadrado, de vértices $ABCD$. Ele primeiro dobra o papel de modo que ele leva os vértices $B, D$ até a diagonal $AC$, como na figura abaixo.

Depois disso, ele leva o vértice $C$ em $A$, formando a figura abaixo.

Calcule os ângulos $a, b$.

INTERMEDIÁRIO:

Seja $n \ge 3$ um inteiro e seja $a_1, a_2, \cdots , a_n$ reais postivos. Para cada $1 \le i \le n$, definimos $b_i = \frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i}$ (Definimos $a_0$ para ser $a_n$ e $a_{n+1}$ para ser $a_1$). Suponha que, para todo $i, j$, temos que $a_i \le a_j$ se e somente se $b_i \le b_j$. Prove que $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$

AVANÇADO: Seja $ABC$ um triângulo isósceles ($AB =AC$) com incentro $I$. Circulo $\Gamma$ passa por $C$ e $I$ e é tangente a $AI$. $\Gamma$ intersecta $AC$ e o circuncírculo de $ABC$ em $Q$ e $D$, respectivamente. Seja $M$ o ponto médio de $AB$ e $N$ o ponto médio de $CQ$. Prove que $AD, MN, BC$ concorrem.

INICIANTE: Para números reais não-negativos distintos $a, b, c$, prove que

$\frac{a^2}{(b-c)^2} + \frac{b^2}{(c-a)^2} + \frac{c^2}{(b-a)^2} > 2$

INTERMEDIÁRIO:

Um número de robos são colocados nos quadrados de um grid retângular finito. O quadrado pode ter qualquer quantidade de robos. Cada linha de cada quadrado é classificada como penetravel ou impenetravel. Todas as linhas das bordas do grid são impenetraveis. Você pode dar comandos do tipo: cima, baixo, esquerda ou direita. Todos os robôs, simultaneamente, movem para a direção especificada. Se a linha que o robô andou é penetravel, então o robô anda para o próximo quadrado. Caso contrário, o robô continua na casinha atual. Você pode dar esses comandos quantas vezes você quiser. Suponha que, para qualquer robô e para para qualquer quadrado, tem um caminho que leva esse robô para esse quadrado. Prove que existe uma linha de comandos que leva todos os robôs para o mesmo quadrado.

AVANÇADO: Ache todos os polinômios $p(x)$ de coeficientes reais para os quais existe um polinômio $q(x)$ de coeficientes reais tal que

$p(1) + p(2) + \cdots + p(n) = p(n)q(n)$

Para todo inteiro positivo $n$.

INICIANTE: Seja $S$ o menor conjunto de inteiros positivos tal que:

a) $2$ está em $S$

b) Se $n^2$ está em $S$, $n$ está em $S$

c) Se $n$ está em $S$, $(n + 5)^2$ está em $S$

Quais inteiros positivos não estão em $S$?

Obs. O “menor” conjunto significa que qualquer conjunto que satisfaz tal propriedade contém o “menor” conjunto.

INTERMEDIÁRIO: Determine todos os pares de inteiros positivos $(a,b)$ tais que $a \mid b \mid a^2 \mid b^3 \mid a^4 \mid b^5 \mid \cdots$

AVANÇADO: Seja $p_i$ com $i = 1, 2, \cdots , k$ a sequência dos números primos (Por exemplo, $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5 \cdots$). Seja $N = p_1 p_2 \cdots p_k$. Prove que no conjunto $\{ 1, 2, \cdots , n \}$ existem exatamente $\frac{N}{2}$ números que são divisíveis por uma quantidade impar de $p_i$.

Soluções

INICIANTE: Em um estado, quaisquer duas cidades estão ligadas por uma estrada. Um tirano decidiu transformar todas essas estradas em estradas de mão única, de modo que se alguém sair da cidade, ele não consegue mais voltar. É possível fazer tal crueldade?

INTERMEDIÁRIO: Seja $ABCD$ um quadrilátero cíclico de circunferência $\Gamma$ e seja $X = \overline{AC} \cap \overline{BD}$. Sejam $E, F$ pontos em $(ABX)$ de modo que $\overline{EF}$ é paralelo a $\overline{AB}$. $\overline{FX}$ encontra $(CDX)$ em $G$. Faça $EX$ encontrar $AB$ em $P$, e $XG$ encontrar $CD$ em $Q$. Seja $S$ a intercessão da mediatriz de $EG$ com $\Gamma$ de modo que $S$ está mais perto de $A$ do que de $B$. Prove que a linha paralela a $PQ$ por $S$ é tangente a $\Gamma$.
AVANÇADO: Seja $R^+$ o conjunto dos reais positivos. Ache todas as funções $f: R^+ \rightarrow R^+$ de modo que, para todo $x, y$

$f(xy+f(x)) = xf(y) +2$

Soluções

INICIANTE: Caique escreveu números de um dígito em seu quadro e multiplicou todos. Caique notou que o número resultante era maior que $10$ e só tinha dígitos ímpares, quais são os possíveis valores para o algarismo das unidades do número que caique encontrou?

INTERMEDIÁRIO: Seja $\Delta ABC$ um triângulo acutângulo Com $AB<AC$. Sejam $D$,$E$,$F$ os pés das alturas de $A$,$B$,$C$ respectivamente. O circuncírculo $\Gamma$ de $\Delta AEF$ corta o circuncírculo de $\Delta ABC$ em $A$ e $M$. Assuma que $BM$ é tangente a $\Gamma$. Prove que $M$,$F$,$D$ são colineares.

AVANÇADO: Seja $x_1$,$x_2$,$\dots$,$x_n$ uma sequência de reais não negativos. Defina a sequência transformada de $y_1$,$y_2$,$\dots$,$y_n$ com $y_i$ sendo o valor da maior média possível de termos consecutivos da sequência inicial contendo $x_i$. Por exemplo, a sequência transformada de $2$, $4$, $1$, $4$, $1$ é $3$, $4$, $3$, $4$, $\dfrac 52$. Prove que o valor de elementos de $y_i$ que são maiores que $t$ para algum $t\in\mathbb{R}_{\ge 0}$ não passa de

$$\dfrac 2t (x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)$$

INICIANTE: (a) Uma altura de um triângulo é menor que 1. É possível que a área do triângulo seja maior do que 100?

(b) As 3 alturas do triângulo são maiores que 2. É possível que a área do triângulo seja menor que 2?

INTERMEDIÁRIO: Ache todos os pares $n, k$ de inteiros positivos tal que

$k! = (2^n -1)(2^n -2) \cdots (2^n - 2^{n-1})$

AVANÇADO: Um inteiro $N \ge 2$ é dado. Temos uma equipe de $N(N+1)$ jogadores de futebol, de modo que nenhum deles dois tenham a mesma altura, e todos eles estão em uma linha. O renomado técnico de futebol Matheus Alencar quer remover $N(N-1)$ jogadores da sua equipe, e ele vai fazer isso removendo-os da fila, deixando somente $2N$, no qual ele quer que as $N$ condições são cumpridas:

Ninguém fica entre os dois jogadores mais altos na fila.

Ninguém fica entre o terceiro e o quarto jogadores mais altos na fila

...

Ninguém fica entre os dois jogadores mais baixos da fila

Prove que o Matheus sempre consegue selecionar os jogadores dessa maneira.

INICIANTE: Ache o número de maneiras que podemos colocar o máximo de torres em um $n\times n$ de modo que elas não se ataquem.

INTERMEDIÁRIO: Seja $a_0<a_1<a_2<\dots$ uma sequência infinita de inteiros positivos. Prove que existe um único $n$ tal que

$a_n<\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}n\le a_{n+1}$

AVANÇADO: No triângulo $\Delta ABC$ seja $\omega$ o A-ex-incírculo de $ABC$ e $D$,$E$ e $F$ os pontos de tangência de $\omega$ a $BC$,$CA$,$AB$ respectivamente, a circunferência $(AEF)$ intersecta $BC$ em $P$ e $Q$. Seja $M$ o ponto médio de $AD$, prove que $(MPQ)$ é tangente a $\omega$

Soluções

INICIANTE: Seja $ABC$ um triângulo acutângulo com $AB>AC$ inscrito em uma circunferência de centro $O$. Do ponto médio $D$ do lado $BC$ desenhamos uma reta $l$ perpendicular ao lado $AB$ que o intersecta em $E$. Se a reta $AO$ intersecta $l$ em $Z$, prove que $AZDC$ é cíclico

INTERMEDIÁRIO: Seja $p$ um primo e $a_1,a_2,a_3,\dots a_p$ inteiros. Prove que existe um $k\in \mathbb{N}$ tal que os números

$a_1+k$,$a_2+2k$,$a_3+3k$,$\dots$,$a_p+pk$

Produzem no mínimo $\frac p2$ restos $\pmod p$.

AVANÇADO: Ache todos os polinômios $P\in \mathbb{Z}[x]$ tais que, para quaisquer números reais $s$ e $t$ tais que $P(s), P(t)$ são inteiros, então $P(st)$ é inteiro

Soluções

INICIANTE: Ache todas as triplas $(a$,$b$,$c)$ de reais com $ab+bc+ca=1$ e

$a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b$

INTERMEDIÁRIO: Boris escreve na lousa o produto a seguir:

$1\cdot 2\cdot 3\dots n$

Boris pode escolher alguns números (possivelmente todos) e colocar um sinal de exclamação do lado de cada um, tornando cada um dos escolhidos um fatorial. Para quais $n\ge 2$ ela pode escolher números de modo que o produto resultante seja um quadrado perfeito?

AVANÇADO: Dizemos que duas casas de um tabuleiro são adjacentes se elas compartilham uma aresta no tabuleiro. Uma sequência $(a_1,a_2,\dots , a_k)$ de casas dois a dois distintas de um tabuleiro $n\times n$ é chamada de ciclo se $a_i$ é adjacente a $a_{i+1}$, para todo $i$ e $a_k$ é adjacente a $a_1$.

Dizemos que um conjunto é tropical se todo ciclo no tabuleiro tem um elemento no conjunto.

Determine todas as constantes reais $C$ tais que para todo $n\in \mathbb{N}, n\ge 2$, em um tabuleiro $n\times n$ existe um conjunto tropical com no máximo $Cn^2$ casas

Soluções

INICIANTE: Seja $n$ um natural tal que $n(n+2013)$ é um quadrado perfeito.

a) Prove que $n$ não pode ser primo

b) Ache um exemplo de $n$ que cumpre o enunciado

INTERMEDIÁRIO: Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo onde $R$ e $S$ são pontos em $DC$ e $AB$, respectivamente tal que $AD=RC$ e $BC=SA$. Sejam $P$,$Q$ e $M$ os pontos médios de $RD$,$BS$ e $CA$ respectivamente. Se $\angle MPC + \angle MQA=90^{\circ}$, prove que $ABCD$ é cíclico

AVANÇADO: Os inteiros $a_1$,$a_2$,$\dots$, $a_n$ satisfazem

$1<a_1<a_2<\dots<a_n<2a_1$

se $m$ é o número de fatores primos distintos de $a_1a_2a_3\dots a_n$ prove que

$(a_1a_2a_3\dots a_n)^{m-1}\ge (n!)^m$

Soluções

INICIANTE: No pentágono regular , a perpendicular por a  encontra em . Prove que: .

INTERMEDIÁRIO: Sejam  reais positivos que satisfazem: . Prove que: .

AVANÇADO: Determine todos fpara os quais existem 2 números de dígitos, e , tais que o número de dígitos é divisível por .

INICIANTE:

Números  são tais que e . Mostre que .

INTERMEDIÁRIO:

Sejam x e y inteiros positivos tais que: $3x^2+x =4y^2+y$. Demonstre que $x-y$ é quadrado perfeito.

AVANÇADO:

Seja $ABC$ um triângulo que contém uma elipse inscrita tangente aos $3$ lados. Mostre que os focos da elipse são conjugados isogonais do triângulo.

INICIANTE:

Em Brunzundanga, há $2019$ pessoas sendo que algumas são mentirosas, enquanto que outras são honestas.  As mentirosas sempre mentem e as honestas sempre falam a verdade. Elas se reúnem ao redor de um círculo e cada uma delas afirma a seguiunte frase: "Ao meu lado existem tanto um mentiroso quanto um honesto" não informando qual vizinho da esquerda ou direita é qual. Quantos mentirosos há no grupo?

INTERMEDIÁRIO:

Sejam , ,  reais positivos tais que . Prove que .

AVANÇADO:

Seja $ABC$ um triângulo e $O$ seu circuncentro. Sejam $X,Y,Z$ os circuncentros de $BOC, COA, AOB$. Mostre que $AX,BY,CZ$ são concorrentes.

INICIANTE: Seja $ABC$ um triâgulo e $r$ a reta tangente ao seu circuncírculo por A. Sejam $L,M,N$ os pontos médios de $BC,CA,BA$ respectivamente. $r$ intersecta $LM$ e $LN$ em $P$ e $Q$ respectivamente. Prove que $BQ$ e $CP$ são paralelas.

INTERMEDIÁRIO: Determine todos $a,b,c$ tais que $N=\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$ é uma potência de $2016$.

AVANÇADO: Defina a sequência $a_1,...,$ como: $a_n = \lfloor n^{\frac{2018}{2017}} \rfloor$ (piso de n elevado a 2018/2017). Mostre que existe um inteiro $N$ tal que em qualquer sequência de $N$ termos consecutivos na sequência, algum deles possui um dígito $5$ na representação decimal.

NOTA: $\lfloor n\rfloor$: piso de $n$, é menor inteiro menor ou igual a $n$.

INICIANTE: Determine todos os inteiros de $4$ dígitos que são múltiplos de $2,3,5$ e $7$ e são quadrados perfeitos.

INTERMEDIÁRIO: Sapo Cururu salta sobre os pontos inteiros positivos da reta real. Ele começa no ponto $n$ e, a cada passo, salta para o número $f(n)+g(n)$ em que $f(n), g(n)$ são respectivamente o maior e menot divisor primo de $n$. Para quais $n$, Cururu salta sobre infinitos pontos diferentes se iniciar no ponto $n$?

AVANÇADO:

Sejam $m, n$ ímpares primos entre maiores que 1. Sejam: $a_1<...< a_{m+n-2}$ os múltiplos de $m$ ou de $n$ entre $1$ e $mn-1$. Demonstre que:
$a_1-a_2+a_3-...-a_{m+n-2} = \dfrac{1-mn}{2}$.

INICIANTE: Márcia numera de escreve na lousa os números de $1$ a $15$. Ela realiza a seguinte operação com eles: Apaga 2 números $a$ e $b$ e escreve no lugar $ab+a+b$. Ao final, resta apenas um número. Quais são todos os possíveis valores para esse número?

INTERMEDIÁRIO: Escrevemos os números $0$ e $1$ nas casas de um tabuleiro $8$x$8$. Sabe-se que em quaquer casa que contém zero, a soma das linhas e das colunas dela é maior ou igual a $8$. Mostre que a soma dos números do tabuleiro inteiro é no mínimo $32$.

AVANÇADO: É possível colocar os números de $1$ a $k^2$ em um $k$x$k$ de maneira que a soma de qualquer linha ou coluna seja potência de 2?

INICIANTE: Determine todos primos $p$ tais que $2^p +p^2$ é um número primo.

INTERMEDIÁRIO: 

Determine todos pares de reais tais que:

AVANÇADO:

Determine todos $m$ e $n$ inteiros positivos tais que: $4^m +5^n$ é quadrado perfeito.

INICIANTE: $a,b,c$ são primos maiores que $3$. Mostre que $(a-b)(b-c)(c-a)$ é múltiplo de 48.

INTERMEDIÁRIO: Pintamos os inteiros positivos com $3$ cores. Mostre que existem $2$ da mesma cor que diferem por um quadrado perfeito.

AVANÇADO: Let  and  be the altitudes of an acute-angled triangle , and let  be the excircle of  touching side . The common internal tangents to circles  and  meet  at points  and . Prove that .

INICIANTE: The increasing sequence $1; 3; 4; 9; 10; 12; 13; 27; 28; 30; 31, \ldots$ is formed with positive integers which are powers of $3$ or sums of different powers of $3$. Which number is in the $100^{th}$ position?

INTERMEDIÁRIO: Find the total number of primes $p<100$ such that $\lfloor (2+\sqrt{5})^p \rfloor-2^{p+1}$ is divisible by $p$. Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

AVANÇADO: Given a natural $n>1$ and its prime factorization $n=p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$, its false derived is defined by $f(n)=\alpha_1p_1^{\alpha_1-1}\alpha_2p_2^{\alpha_2-1}...\alpha_kp_k^{\alpha_k-1}$.Prove that there exist infinitely many naturals $n$ such that $f(n)=f(n-1)+1$.

INICIANTE: The increasing sequence $1; 3; 4; 9; 10; 12; 13; 27; 28; 30; 31, \ldots$ is formed with positive integers which are powers of $3$ or sums of different powers of $3$. Which number is in the $100^{th}$ position?

INTERMEDIÁRIO: Existe algum racional positivo não inteiro $x$ de modo que: $x^x$ é racional?

AVANÇADO: Let $I$ be an incenter of $\triangle ABC$. Denote $D, \ S \neq A$ intersections of $AI$ with $BC, \ O(ABC)$ respectively. Let $K, \ L$ be incenters of $\triangle DSB, \ \triangle DCS$. Let $P$ be a reflection of $I$ with the respect to $KL$. Prove that $BP \perp CP$.

INICIANTE: Pintamos os pontos de coordenadas inteiras com $4$ cores. Prove que é possível encontrar um retângulo cujos vértices têm a mesma cor. Mostre que o mesmo resultado vale para $n$ cores para todo inteiro positivo $n$.

INTERMEDIÁRIO: Os inteiros de $1$ a $50$ estão escritos no quadro. Quantos devem ser apagados de maneira que a soma de quaisquer $2$ que sobram seja composta?

AVANÇADO: Seja $ABC$ um triângulo e $G$ , $H$ e $I$ o baricentro, ortocecntro e incentro do triângulo, Demonstre que: $\angle GIH > 90�$

INICIANTE: Arnaldo e Bernaldo treinam para uma maratona ao longo de uma pista circular, a qual possui em seu centro um mastro com uma bandeira hasteada. Arnaldo corre mais rápido que Bernaldo, de modo que a cada 30 minutos de corrida, enquanto Arnaldo dá 15 voltas na pista, Bernaldo dá 10 voltas. Arnaldo e Bernaldo partiram no mesmo instante da linha inicial e correram com velocidades constantes, ambos no mesmo sentido. Entre o minuto 1 e o minuto 61 da corrida, quantas vezes Arnaldo, Bernaldo e o mastro ficaram colineares?

INTERMEDIÁRIO: Sejam $a_1,...,a_{n-1}$ reais quaisquer. Defina as sequências: $u_0,...,u_n$ e $v_0,...,v_n$ de modo que : $u_0=u_1=v_0=v_1=1$, $u_{k+1}=u_k +a_ku_{k-1}$ e $v_{k+1} = v_k+a_{n-k}v_{k-1}$. Mostre que $u_n=v_n$.

AVANÇADO: Seja $f(n)$ o menor inteiro positivo que possui $n$ divisores positivos. Mostre que $f(2^k)$ divide $f(2^{k+1})$.

INICIANTE: Um quadrado é dividido em $n^2$ retângulos por $n-1$ linhas verticais e $n-1$ horizontais. Prove que podemos escolher $2n$ desses retângulos de modo que dentre quaisquer $2$, um caiba dentro do outro completamente.

INTERMEDIÁRIO: Seja ABC um triângulo, H e M seu ortocentro e o ponto médio do lado BC. A semirreta MH interseta o circuncírculo de ABC em P. Demonstre que $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{HB}{HC}$

AVANÇADO: Seja $n$ inteiro positivo e $b_0,...b_{2n}$ 2n inteiros diferentes de 0 tais que $b_0+...+b_{2n} \neq 0$.Prove que existe uma permutação $a_0,...a_{2n}$ da sequência b de modo que o polinômio: $P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + ... + a_0$ só possui raízes não inteiras.